专题3-7 立体几何与空间向量大题专练（5类常见题）-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题3-7 立体几何与空间向量大题专练（5类常见题） 目录 题型一 求线面角 3 题型二 求二面角，面面角 14 题型三 已知线面角求其他量 24 题型四 已知二面角，面面角求其他量 34 题型五 最值与范围 44 线面角 范围： 公式： 面面角 范围： 公式： 二面角 范围： 公式： 重点题型·归类精讲 题型一 求线面角 1．在四棱锥中，底面． (1) 证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值． 2．如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 3．如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．    (1)证明：； (2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值． 4．如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点. （Ⅰ）证明MN∥平面PAB; （Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 5．如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面. (1)求证：平面平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值. 6．如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 7．中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体．该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．在如图所示的“曲池”中，平面，记弧AB、弧DC的长度分别为，，已知，，E为弧的中点． (1)证明：． (2)若，求直线CE与平面所成角的正弦值． 8．如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点． (1)证明：平面； (2)若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值． 9．如图，四棱台的下底面和上底面分别是边和的正方形，侧棱上点满足. (1)证明：直线平面； (2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值. 10．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，． (1)证明： (2)若平面平面PCD，且，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值． 11．如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. （1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F； （2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值. 题型二 求二面角，面面角 12．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 13．如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值． 14．如图，在长方体中，点分别在棱上，且，． （1）证明：点在平面内； （2）若，，，求二面角的正弦值． 15．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 16．如图，在三棱台中，. (1)求证：平面平面； (2)若四面体的体积为2，求二面角的余弦值. 17．如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为中点，为中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面所成夹角的余弦值. 18．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 19．在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 20．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．      (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 21．如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. 题型三 已知线面角求其他量 22．已知矩形中，，，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面. (1)证明：； (2)若是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 23．如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均为正三角形，，点M为线段CD上一点．    (1)求证：； (2)若EM与平面ACD所成角为，求平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值． 24．在四棱锥中，平面平面，，为的中点. (1)求证：； (2)若，，，，点在棱上，直线与平面所成角为，求点到平面的距离