专题2-5 韦达化处理以及非对称韦达-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题2-5 韦达化处理以及非对称韦达 韦达化处理 将题目的核心条件坐标化后，并不全是直接韦达化的形式．对于坐标化后的表达式不是韦达形式的，就需进行韦达化处理．韦达化主要又两个路径：代换和配凑. 韦达化处理一：代换——即消去x或y中的一个 由于我们联立后的方程式关于x或y的二次方程，韦达定理中的两根之和与两根之积只式单独的x或y的形式，而此时坐标表达式并非是直接的韦达形式，因此需进行代换： 例题回顾 直线l与抛物线交于A、B两点，且满足，证明：直线l过定点． 部分解析 由题，直线不与x轴平行，故设，其中，设点， 联立，消x得：，，则， 因为，则，即， 方向一：直线代换: 剩余解析 通常情况下，我们在解答题以直线代换居多，这里不再赘述．但需要注意一点，一般而言，如果选择代换消去y则正设直线；选择代换消去x，则反设直线． 方向二：曲线代换： 剩余解析 对于核心信息表达式中的一次项，一般以直线代换为主．而曲线如果为抛物线，也可以用抛物线代换，如例题中抛物线为，因此对于x的一次式可以用曲线代换．反之，如果抛物线为则可用曲线对y进行代换，由于我们要代换的是y，因此联立后的方程保留为关于x的二次方程，同时直线的假设则以正设为主． 另一方面，如果核心信息表达式中是单元的二次形式，如形式，则一般考虑用曲线代换，这样处理会更加简单． 【例题1】 在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点为A，点B、C是上不同于A的两点，且点、关于原点对称．记直线AC、AB的斜率分别为、，求证：为定值． 分析 此题中核心信息即直线AC、BC的斜率．由题易知点A(0，1)，要表示AC、AB的斜率，还需要引入参数，因为B、C关于原点对称，故不妨设，那么是否需要设直线呢? 再往后看． 引入参数后，将斜率坐标化表达：； 目标信息为斜率之积，即； 接下来需要考虑代换问题，观察到目标信息是二次形式，代换中我们提到，对于单元二次形式的，可采用曲线代换，由于此时还未假设直线，看来也是不需要了．由点B、C在曲线上，故有，即，代入目标信息中可得，为定值． 解析 由题，设点，， 则 又点B椭圆上，故有，即， 代入可得，为定值，得证. 韦达化处理二：配凑 配凑法进行韦达化处理，一个经典案例就是弦长中的.对于前述坐标化后的部分式子，也需要作配凑处理： 1．，即，其中k为直线AB斜率，再用直线代换，即，得.此处需注意两点，一是，几何意义即为直线斜率，二是通过平方差公式因式分解转化，对于含平方形式是有力手段. 2． 3．，此处考虑直线代换， ， 再代入上式即可得 4．，而 整理得 5．此形式可以配凑倒数关系，，故， 配凑可得 非对称韦达 此外，在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似为定值的情形，通过直线代换可得：但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”． 我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到和之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法， 非对称韦达的处理，技巧性稍强一些，具体处理方法技巧． 【例题 2】 已知点F为椭圆的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆交于M，N两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为证明为定值． 分析 此题核条件为直线AM与的斜率显然要设点，不妨设而由题可知A(－2，0)，B(2，0)，因此， 从而目标信息，要证明其值为定值．从目标信息的形式来看，用x或y表示并无差异，考虑到直线不与x轴重合，故采用反设直线要方便些，因此设. 通过直线替换后可得 出现了韦达定理结构之外的形式，即落单的和，像此类结构，一般被称为“非对称韦达” 下面我们介绍几种常见的处理策略，准备工作先做好，先联， 消x得，易知△>0，则 策略一：和积转换——找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系 如本例中由韦达定理可得，，代入目标信息得，稍作整理，即可得，为定值，得证. 若看不出两根之和与两根之积的关系怎么办呢？ 我们不妨用待定一下系数，设 ∴ 上面使用的是纵坐标的和积关系，若正设直线，需考虑直线l斜率问题，斜率存在时，同理，借助横坐标的和积关系也可证明，再验证斜率不存在时的情形. 考虑到本例中反设直线，两根的和积关系显而易见，而对于一般的和积关系，关系可能不是那么明显，如此例中正设直线，具体可参看策略三中的解析． 策略二：配凑半代换——对能代换的部分进行韦达代换，剩下的部分进行配凑 而半代换也有一定技巧，就是配凑．比如题中的，若只代换， 得，依然无法得到定值，因为落单的和不一致，而此时为分式结构，分式结构的定值需要满足上下一致，且对应成比例，抓住这个核心，可以对和其中某个进行配凑使其能构成比例形