专题1-1 函数对称性周期性问题（被反复考察的题型）-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题1-1 函数对称性周期性问题（被反复考察的题型） 目录 【函数对称性】 3 真题回顾与梳理 4 2022新高考1卷第12题——涉及2个函数，需要求导 4 2022全国乙卷第12题——涉及2个函数，不需要求导 5 2021全国甲卷（理）12题——由对称性得出周期性求值 6 2021全国甲卷（文）12题——由对称性得出周期性求值 7 2021新高考2卷第8题——由对称性得出周期性求值 8 2022年全国乙卷（文）16题——考察奇偶函数定义域的对称性 8 题型一 不涉及导数 10 广东省汕头市2023届高三上学期期中·8 10 2023届深圳市二模·15 11 2023·福建·厦门外国语学校5月适应性考试·12 11 山东省潍坊一中、山东师大附中等齐鲁名校2023届高三第二次学业质量联合检·12 12 2023广东茂名高三一模·10 12 2023·湖南长沙·湖南师大附中校考三模 13 湖南郴州九校联盟5月适应性考试·16 14 福建泉州2022届高中毕业班监测（一）·16 14 湖北圆创高三下5月联考·10 15 题型一补充(1)：由对称性求方程根之和 17 广东省一模·15 17 广东省六校2023届高三上学期第一次联考·8 17 题型一补充(2)：由解析式得出对称性 18 2023·山东·潍坊三模·12 18 2023·湖南郴州·统考三模 19 2022届深圳一模·8 19 2023届广东七校第一次联考·8 & 2017全国三卷文·12/理·11 20 题型二 涉及导数 20 2023·山东聊城·统考三模 20 长沙市长郡雅礼一中师大四校5月“一起考”·15 21 2023·湖北省一模·7 22 2023届珠海一中5月适应性训练·8 23 2022年T8第一次联考·7 24 2023汕头市三模·12 26 山东德州市三模·8 27 2023届杭州二模&长郡中学二模·10 28 浙江宁波二模·10 28 浙江嘉兴二模·8 30 题型二补充：涉及导数，且有2个函数 31 2023届汕头一模·8 31 湖北恩施二中5月适应性训练·11 32 2023浙江省浙南名校、七彩阳光联盟2月返校考·12 33 【函数对称性】 ，关于对称是偶函数 ，且关于对称是奇函数 周期：一由对称轴与对称中心的距离推出周期T（参考三角函数图像）， 偶尔也会出现这个式子 例：若题目中给出是偶函数 证：设关于对称，通过函数图像的平移和伸缩变换求出a的值 左移1个单位得 再把横坐标变为原来的一半得 对称轴 真题回顾与梳理 2022新高考1卷第12题——涉及2个函数，需要求导 1．（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]：因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 2022全国乙卷第12题——涉及2个函数，不需要求导 2．已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以. 故选：D 点评：含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题. 2021全国甲卷（理）12题——由对称性得出周期性求值 3．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D