专题24.45 几何模型专题（四点共圆）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题24.45 几何模型专题（四点共圆） 【知识要点】 一、四点共圆的判定常见方法 1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。 2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。 3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。 4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。 5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。 二、四点共圆的性质 1、共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等。 2、圆内接四边形的对角互补。 3、圆内接四边形的外角等于内对角。 一、单选题 1．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，当点落在的延长线上时，下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，等腰内接于圆O，直径，D是圆上一动点，连接，，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当，四边形的面积为；④当时，四边形的周长最大，正确的有（   ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 3．如图，点，，分别在的三边上，，，，，下列结论正确的是（    ） A．可求，不可求 B．不可求，可求 C．，均可求 D．，均不可求 4．如图，等腰直角三角形中，，将绕点B顺时针旋转，得到，连接，过点A作交的延长线于点H，连接，则下列结论不一定成立的是（    ）        A． B． C． D． 5．如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB=CD，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠BOD=2∠BAD；③AC=BD；④∠CAB=∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO=180°．其中正确的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN＝（   ） A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN 二、填空题 8．已知P是中心为O的正方形ABCD内一点，AP⊥BP，OP=，PA=6，则正方形ABCD的边长是 9．如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝ ． 10．如图，在长方形中，，，垂足为，延长交于，表示面积，则给出的下列命题：①；②；③；④．其中正确命题的代号是 ． 11．在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是 ． 12．在等边中，，，垂足为，点为边上一点，点为直线上一点，连接．将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连结． ①如图1，当点与点重合，且的延长线过点时，连接，则线段的长为 ； ②如图2，点不与点，重合，延长线交边于点，连接，则 ． 　　　 13．在中，，，，点、分别在边、上，且， ，将绕点旋转至，点、分别对应点、，当、、三点共线时，的长为 ． 三、解答题 14．如图所示，正方形中，为对角线，点为上一点，过作，交于，求证：. 15．如图，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE、CF交于M，连AM． ⑴求证：BE＝CF；⑵求证：BE⊥CF；⑶求∠AMC的度数． 16．如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点． （1）求证：ME=MF． （2）若∠A=50°，求∠FME的度数． 17．如图，在四边形中，，对角线平分，，且． （1）证明：； （2）若，，求的长． 18．【问题提出】 如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF 试证明：AB=DB+AF 【类比探究】 （1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由 （2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由． 19．如图1，矩