精品解析：甘肃省兰州市第六十一中学（兰化一中）2024届高三上学期期中考试数学试题

兰州市兰化一中高三年级第一学期期中考试 数学卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C D. 6 已知函数，若，则有（ ） A B. C. D. 7. 已知是函数的导数，且，当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.） 9. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 11. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且 ，则下列命题正确的是（ ） A. 面积的最大值是 B. C. D. 面积的最大值是 12. 已知函数，为常数，若函数有两个零点、，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 函数的最大值为___________. 14. 已知则___________. 15. 已知函数，， 若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数______. 16. 已知函数,若方程有四个不同的解,且,则的最小值是______,的最大值是______. 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 设函数（为常数，且）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式和单调减区间； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 18. 为了在冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某栋房屋要建造能使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的建造成本是6万元，该栋房屋每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式： 若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元.设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和. （1）求C（x）和f（x）的表达式; （2）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值. 19. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）已知，求的面积． 20. 已知函数对于任意，总有，且时，. （1）求证：在上是奇函数； （2）求证：在上是减函数； （3）若，求在区间上的最大值和最小值. 21. 已知函数，其中，e是自然对数的底数． （1）当时，证明：对，； （2）若函数在上存在极值，求实数a的取值范围． 22. 已知函数. （1）当时，求在上的最大值； （2）当时，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 兰州市兰化一中高三年级第一学期期中考试 数学卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求集合，比较集合后判断选项. 【详解】由三角函数性质可知，又因为， 所以. 故选：C 2. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的真假可得参数的取值范围，进而确定其必要不充分条件. 【详解】由命题“，”为真命题， 得，所以， 所以为该命题的一个必要不充分条件， 故选：C. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可求得，利用同角三角函数关系将原式化简，即可求得答案. 【详解】因为，故，则， 所以 ， 故选：A 4. 在中，已知，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角