【数学思想】第2讲：函数与方程思想在解析几何（解答）中的应用-备战2024高考

第2讲 函数与方程思想在解析几何中（解答）的应用 函数的思想就是运用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数。运用函数的图像性质去分析问题，转化问题，测试问题，获得解决。函数思想是对函数概念本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识。或函数观点观察分析解决问题。 方程思想是高中数学重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（组）、或构造方程来分析数学变量问的等量关系，通过解方程（组），或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。孰练运用方程思想解决数学问题是高中阶段重要的数学能力之一，也是历年高考的重点。 函数与方程思想，简单的说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。对函数和方程思想的考察，主要是考察。能不能用函数和方程思想指导解题？一般情况下，凡是涉及到未知数，未知数问题都可以都可能用到函数与方程的思想。 函数与方程思想方法的考察一直是高考的重点内容之一。也是圆锥曲线中体现最多的一种思想方法。无论是选填还是解答题都是必考查的问题 【应用一】方程思想在研究圆锥曲线中的应用 一、椭圆的标准方程和几何性质 标准 方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 性质 范围 -a≤x≤a;-b≤y≤b -b≤x≤b;-a≤y≤a 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 坐标 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a;  短轴B1B2的长为2b　  焦距 |F1F2|=2c　  离心率 e=∈(0,1) a,b,c 的关系 　a2=b2+c2　  二、抛物线的定义 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形 顶点 　O(0,0)　  对称轴 直线y=0 直线x=0 焦点 F,0 F-,0 F0, F0,- 离心率 e=1 准线 方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 焦半径(其P(x0,y0)) |PF|= x0+ |PF|= -x0+ |PF|= y0+ |PF|= -y0+ （1）双曲线点集:. （2）椭圆点集. （3）等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； （4）双曲线与渐近线的关系 ①若双曲线方程为渐近线方程： ②若双曲线方程为（，）渐近线方程： ③若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， ④若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 【例1.1】【2022年新高考1卷】已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 【思维提升】椭圆、双曲线中涉及的基本量为a,b,c;抛物线中涉及到p等基本量。解析几何中经常考查求圆锥曲线的面积、方程以及与此有关的含参问题。解决此类问题就是建立根据题目所给的条件分别建立方程或者方程组。由方程组解出参数。 【变式1.1】（2023·云南红河·统考一模）已知P为抛物线E：上任意一点，过点P作轴，垂足为O，点在抛物线上方（如图所示），且的最小值为9． (1)求E的方程； (2)若直线与抛物线E相交于不同的两点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且为等边三角形，求m的值． 【变式1.2】（2023·湖南岳阳·统考三模）已知点在双曲线的渐近线上，点在上，直线交于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为0． (1)求直线的斜率； (2)若M为双曲线E上任意一点，过点M作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于点P，Q，求△MPQ的面积． 【变式1.3】【2020年新课标2卷文科】已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|． （1）求C1的离心率； （2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程． 【应用二】函数与方程思想在解析几何中定点的应用 解析几何中的定点、定值问题一直是高考的热点问题，在最近几年高考及模拟题中是考查的热点。这种题型引起重视。 【例2.1】【2020年新高考1卷（山东卷）】已