2024届河北省高三数学专项练习：数列解答题

2023-2024学年河北省高三数学专项练习：数列解答题 目录 一、等差等比、错位相减求和 1 二、等差等比数列、分组求和 2 三、an与sn求通项公式、裂项相消求和 3 四、等差等比数列、裂项求和 4 五、构造数列、等差等比关系的证明 6 六、累加法、累乘法求通项公式 7 七、数列的增减性 8 八、数列与不等式、方程综合 9 九、构造数列求通项公式、放缩法求和 10 一、知识梳理： 1、递推数列的概念： 由递推公式确定的数列叫做递推数列.由相邻两项的关系给出的递推公式称为一阶递推公式,由相邻三项的关系给出的递推公式称为二阶递推公式…….等差数列与等比数列是最基本的递推数列.递推数列的基本问题是由递推关系求通项公式。 2、求递推数列通项公式的常用方法： （1）公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法.常用的公式有，以及等差数列和等比数列的通项公式。 （2）归纳法：先根据数列的前几项，有不完全归纳法猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫做归纳法。 （3）累加法：利用恒等式求通项公式的方法称为累加法.累加法是求形如的递推数列通项公式的基本方法（其中数列可求前项和）。 （4）累乘法：利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法.累乘法是求形如的递推数列通项公式的基本方法（其中数列可求前项积） (5)转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为与等差或等比数列有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。 等差数列 等比数列 定义 递推公式 ； ； 通项公式 （） 中项公式 A= 推广：2= 。 推广： 前项和 重要性质 若m+n=p+q, 则 若m+n=p+q， 则 ， 一、等差等比、错位相减求和 错位相减求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [方法分析] 求和：………………………① 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积 设………………………. ② （设制错位） ①－②得 （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得： ∴ 1．（2023·河北唐山·统考二模）已知数列是正项等比数列，其前项和为，是等差数列，且，， (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和 (3)证明： 2．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知正项等差数列的前n项和为，且， (1)求； (2)若，求数列的前n项和 3．（2023·河北衡水·校联考二模）已知数列的前项和为，满足（为常数）. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 2、 等差等比数列、分组求和 根据通项公式，通过观察、分析、研究，可以分解通项公式中的对应项，达到求和的目的. 若数列的通项公式可分解为若干个可求和的数列，则将数列通项公式分解，分别求和，最终达到求和目的. 4．（2023·河北保定·统考一模）已知，，，…，是以1为首项，1为公差的等差数列． (1)求的通项公式； (2)求数列前2n项的和． 5．（2023·河北邯郸·统考一模）设数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 6．（2023·河北沧州·校考三模）设公比为正数的等比数列的前项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列在区间中的项的个数，求数列前100项的和. 7．（2023·河北沧州·统考三模）定义矩阵运算：．已知数列，满足，且． (1)证明：，分别为等差数列，等比数列． (2)求数列的前n项和． 常用裂项方法： 三、an与sn求通项公式、裂项相消求和 8．（2023·河北唐山·统考三模）设为数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 9．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知数列，满足，是等比数列，且的前项和. (1)求数列，的通项公式； (2)设数列，的前项和为，证明：. 10．（2023·河北张家口·统考二模）已知数列的首项为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 11．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）已知数列满足，其中是的前项和. (1)求证：是等差数列； (2)若，求的前项和. 四、等差等比数列、裂项求和 12．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）设等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 13．（2023·河北邢台·统考一模）已知等比数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足