2023-2024学年河北省高三数学专项练习：三角函数、正弦、余弦定理解答题

2023-2024学年河北省高三数学专项练习：三角函数、正弦、余弦定理解答题 目录 一、三角函数的图像及性质 1 二、正弦、余弦定理灵活运用 3 三、三角形的面积 6 四、正弦、余弦定理运用求最值 8 五、正弦、余弦定理运用求取值范围 11 六、正弦、余弦定理的实际应用 13 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 （1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。 （1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 （R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC。 3．三角形的面积公式： （1）＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； （2）＝absinC＝bcsinA＝acsinB； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 （1）角的变换 因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。 ； （2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 6．求解三角形应用题的一般步骤： （1）分析：分析题意，弄清已知和所求； （2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图； （3）求解：正确运用正、余弦定理求解； （4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。 7．函数的图象与图象间的关系：①函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移个单位得的图象；②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象； ③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象； ④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象。 要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位 一、三角函数的图像及性质 例题1．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知同时满足下列四个条件中的三个：①；②的图象可以由的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为；④最大值为2. （1）请指出这三个条件，并说明理由； （2）若曲线的对称轴只有一条落在区间上，求m的取值范围. 【变式1-1】（2023·河北保定·统考一模）已知的最小正周期为． (1)求的值； (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，求角B的大小以及的取值范围． 【变式1-2】（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数在上单调． (1)求的单调递增区间； (2)若△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，求△ABC周长的最大值． 二、正弦、余弦定理灵活运用 例题2．（2023·河北沧州·校考三模）在中，角A，，所对的边分别为，，，，，且的面积为.若，边上的两条中线，相交于点，如图所示.    (1)求的余弦值； (2)求的值. 【变式2-1】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知的内角的对边分别为，且． (1)证明：； (2)若，点在边上，且，，求的周长． 【变式2-2】（2023·河北邯郸·统考三模）记的内角的对边分别为，已知的面积为，． (1)若，求； (2)为上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段的最大值． 条件①：为的角平分线；   条件②：为边上的中线． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【变式2-3】（2023·河北石家庄·统考三模）已知中，角，，的对边长分别是，，，，且. (1)证明：； (2)若，求外接圆的面积 【变式2-4】（2