精品解析：湖南省湘东九校2024届高三上学期11月联考数学试题

绝密★启用前 2024届11月高三联考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名﹑准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，且，则（ ） A. 6 B. 4 C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 设为等差数列的前n项和，设甲：，乙：是单调递减数列，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 4. 在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点.设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长（cm）和厚度x（cm）满足：.一张长边长为26cm，厚度为0.01cm的矩形纸最多能对折的次数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 在中，，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 设为数列前n项积，若，，且，当取得最大值时，（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知正三棱柱的底面边长为，高为3，截去该三棱柱的三个角（如图1所示，D，E，F分别是三边的中点），得到几何体如图2所示，则所得几何体外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知实数a，b满足，则下列不等式一定正确是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示.则（ ） A B. 区间内有两个极值点 C. 函数图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 D. A，B，C是直线与曲线的从左至右相邻的三个交点，若，则 11. 正方体中，P是体对角线上的动点，M是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角的最小值为 B. 异面直线与所成的角的最大值为 C. 对于任意的P，存在点M使得 D. 对于任意的M，存在点P使得 12. 已知函数，则（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 在上单调递增 C. 对任意的，，有 D. 对任意的，，，，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在的展开式中，含项的系数是________（请用数字作答）. 14. 已知同一平面内的单位向量，，，满足，则______. 15. 若直线l：与圆C：相交于A，B两点，，则直线l的斜率的取值范围为______. 16. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，则双曲线C的离心率为______，过双曲线C上任一点Q作两渐近线的平行线QM，QN，它们和两条渐近线围成的平行四边形OMQN的面积为，则双曲线C的方程为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 18. 已知在中，，. （1）求的值； （2）若，求AC边上的高. 19. 抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中3双是一次性筷子，2双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求： （1）在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率； （2）取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望. 20. 如图，在梯形中，，，，，与交于点，将沿翻折至，使点到达点的位置. （1）证明：； （2）若平面PBC与平面PBD的夹角的余弦值为，求三棱锥的体积. 21. 已知椭圆：的长轴长为，且其离心率小于，为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点，的面积的最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，直线为过点且与平行的直线，设与直线的交点为.证明：直线过定点. 22. 已知函数. （1）讨论函数的零点个数； （2）若，是函数的两个零