上海市南模中学2024届高三上学期期中数学试题

2024届南模中学高三年级期中考 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1. 不等式的解集为________. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则__________． 3. 在中，，，为的中点，则___________. 4 已知，，则______. 5 计算：______________ 6. 已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为______________ 7. 如图，某住宅小区平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD；已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟；若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA的长为______________（精确到1米） 8. 已知函数，若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________. 9. 已知有穷数列各项均为整数且是严格增数列，若，，则n取最大值时，的值为______________. 10. 已知函数的部分图像如图1所示，A，B分别为图像的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于，点C为该部分图像与x轴的交点；将绘有该图像的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，S是及其内部的点构成的集合，设集合，则T表示的区域的面积为______________ 11. 已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是___ 12. 在空间直角坐标系中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲面在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点是二次曲面上的任意一点，且，，，则当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分） 13. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 是函数的极值点 C. 是函数的极小值点 D. 函数在区间上单调递减 15. 刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 16. 已知平面向量、、满足，，，且． 若对每一个确定的向量，记的最小值为． 现有如下两个命题 命题 当变化时，的最大值为； 命题：当变化时，不存最小值； 则下列选项中，正确的是（ ） A. 为真命题，为假命题 B. 为假命题，为真命题 C. 、都为真命题 D. 、都为假命题 三、解答题（共78分） 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，，直线与平面所成的角为. （1）求四棱锥体积； （2）求异面直线与所成的角的大小. 18. 一根长为的铁棒欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽． （1）设，试将表示为的函数； （2）求的最小值，并说明此最小值的实际意义． 19. 若数列满足条件：存在正整数k，使得对一切，都成立，则称数列为k级等差数列； （1）已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求的值； （2）若（），且是3级等差数列，求的最小正值，及此时数列的前3n项和； 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，直线l经过点，倾斜角为45°，与椭圆交于A、B两点. （1）若，求椭圆方程； （2）对（1）中椭圆，求的面积； （3）M是椭圆上任意一点，若存在实数，，使得，试确定，满足的等式关系. 21. 给定函数，若点是的两条互相垂直的切线的交点，则称点为函数的“正交点”.记函数所有“正交点”所组成的集合为. （1）若，判断集合是否为空集，并说明理由； （2）若，证明：的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线； （3）若，记图像上的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围. 2024届南模中学高三年级期中考 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】； 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】445米 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】73 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】