北京市朝阳区中国人民大学附属中学朝阳学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

人大附中朝阳学校2023-2024学年度第一学期期中调研 年级：初三 学科：数学 （考试时间：120分钟 满分：100分） 一．选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 抛物线的顶点坐标是（    ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根是（） A. B. C. D. 3. 下列各图中，四边形是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，五角星旋转一定角度后能与自身重合，则旋转角度可以是（） A. B. C. D. 5. 如图，点在上，直径于点，下列结论中不一定成立的是（） A. B. C. D. 6. 如图，是上的三个点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线可以由抛物线经过以下哪种方式平移得到（） A. 向上平移2个单位 B. 向下平移2个单位 C. 向左平移2个单位 D. 向右平移2个单位 8. 在平面直角坐标系中，点，将抛物线向上平移个单位，使得平移后的抛物线与线段有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 二．填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 10. 若方程有一个根为，则代数式的值为____________． 11. 已知在二次函数的图象上，则____________（填“>”，“<”或“=”）． 12. 如图，是的直径，，若，则____________． 13. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数为____________． 14. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，小球飞行过程中能达到的最大高度为____________． 15. 如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是________． 16. 如图，二次函数图象经过点．如下四个推断：①抛物线开口向下；②当时，取最大值；③当时，关于的一元二次方程总有两个不相等的实根；④若直线经过点，当时，的取值范围是．其中推断正确的是____________（填写序号）． 三．解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17. 解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． （1）画出旋转后的图形，并写出点，的坐标； （2）求线段长． 19. 如图，是上四点，且，求证：． 20. 已知：是直线上的两点． 求作：，使得点在直线上方，且． 作法： ①分别以为圆心，长为半径画弧，在直线上方交于点，在直线下方交于点； ②以点为圆心，长为半径画图； ③作直线与直线上方的交于点； ④连接． 就是所求的三角形． （1）使用直尺和圆规，根据上述作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明，并在横线上填写推理依据． 证明：连接． ， 是等边三角形． ． 在上， _______（_______________）（填推理的依据）． ． 由作图可知直线是线段的垂直平分线， （______________）（填推理的依据）． 就是所示的三角形． 21. 如下图是一个隧道横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求的半径． 22. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求此时方程的根． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求此函数解析式； （2）结合图象，直接写出当时，函数的取值范围． 24. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20米长的篱笆围成一个矩形场地．若围成矩形场地的面积为50米2，求矩形场地的长和宽． 25. 如图，在中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转得到． （1）若，写出旋转角及其度数； （2）当度数变化时，与之间存在某种不变数量关系．请你写出结论并证明． 26. 已知抛物线． （1）求该抛物线的项点坐标（用含的式子表示）； （2）抛物线上有不同的两点，若，直接写出的值； （3）点在抛物线上，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由． 27. 在中，，过点作射线，使（点与点在直线的异侧），点是射线上一个动点（不与点重合），点在线段上，且．