圆锥曲线中的隐圆-2024届高三数学一轮复习讲义

目 录 第一类： 阿波罗尼斯圆（外准圆） 第二类： 斜率圆 第三类： 内准圆 第四类： 蒙日圆 第五类： 彭赛列圆 第六类： 焦点三角形的内切圆 第七类： 准线圆 第八类： 焦点弦圆 第九类： 四点共圆 第十类： 有心二次曲线对的定义圆 第十一类： 向量圆 第十二类： 平方圆 第一类： 阿波罗尼斯圆 定义：在平面上给定两点A,B,P点在同一平面上且满足,当且时，P点的轨迹是圆，称之为阿波罗尼斯圆(时P点的轨迹是线段AB的中垂线) 设.因为 由两点间距离公式得 化简得 (1) 1）当时得，P点的轨迹是线段AB的中垂线（定义这样的直线为阿波罗直线） 2）当时方程(1)变形为所以点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆（定义这样的圆为阿波罗尼斯圆，简称“阿波罗圆”或“阿氏圆”）. 阿波罗尼斯圆性质： 性质1：当时，点在圆内，点在圆外. 当时,点在圆内,点在圆外. 性质2：因，过是圆的一条切线. 若已知圆及圆外一点，可以作出对应点,反之亦然. 性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的半径为，面积为. 性质4.过点作圆的切线(C为切点)，则,分别为的内、外角平分线。 性质5.过点作圆不与重合的弦,则平分. 例题1：满足的的面积的最大值是 . 解析：显然此题背景是“阿波罗尼斯圆”， 建立如图所示的直角坐标系 由知，， 代入阿波罗尼斯圆公式得． 设圆心为，显然当轴时， 面积最大，此时．所以 例题2：已知两定点，如果动点满足,则点P的轨迹所包围的面积等于 . 解析：显然这是一个阿波罗圆，由上述结论可以解决. 设为坐标原点注意到,可知原点为线段的内分点.设的外分点为，即有.于是圆直径为，所求轨迹面积. 例3、如图，圆C与轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A,B (B在A的上方)，且|AB|=2. (I)圆C的标准方程为_ (II) 过点A任作一 条直线与圆相交于M,N两点，下列三个结论: （1）； （2）； （3）； 其中正确结论的序号是 _ (写出所有正确结论的序号) [答案](I) ； (II)（1）（2）（3） [解析](I)依题意，设C(1,r) (r为圆的半径)，因为|AB|=2,所以，所以圆心，故圆的标准方程为. (II)联立方程组因为B在A的上方，所以, 令直线MN的方程为x=0，此时M(0,-1)，N(0,1)， 所以， 因为，所以. 所以， 正确的序号是（1）（2）（3） 例4.已知点P到两定点的距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程. 解析：设P的坐标为，由题意有，即， 整理得. 因为点N到的距离为1 ，所以，直线的斜率为， 直线的方程为将代入 整理得解得 则点P坐标为或， 直线PN得方程为. 例题5：古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，，，点满足．则点的轨迹所包围的图形的面积等于（       ） A． B． C． D． 【解析】设点，则， 化简整理得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 所以所求图形的面积为， 故选：D 例题6．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（       ） A． B．2 C． D．4 【解析】设经过点A，B的直线为x轴，的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系.则，． 设，∵，∴， 两边平方并整理得，即． 要使的面积最大，只需点P到AB（x轴）的距离最大时， 此时面积为． 故选：C. 例题7：阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德､欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C到的距离之比为，则点C到直线的距离的最小值为（       ） A． B． C． D． 【解析】设，则，即，化简得， 所以点的轨迹为以为圆心，的圆，则圆心到直线的距离， 所以点C到直线的距离的最小值为； 故选：A 例题8．已知圆，过圆外一点作圆的切线，切点为，若（O为坐标原点），则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【解析】圆，化简可得，所以，半径为，由题意，过圆外一点作圆的切线，切点为，所以为直角三角形，，又由，可求得动点的轨迹方程，设，则，可得，点在圆上，圆心为，则的最小