3.2空间向量运算的坐标表示及应用 课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修 第一册

3.2 空间向量运算的坐标表示及应用 理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次。 掌握空间向量运算法则的坐标表示，以及两个向量平行和垂直的条件，达到逻辑推理核心素养学业质量水平一的层次。 复习回顾 如果三个向量、、不共面，那么对于空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使 ＝x+y+z 空间向量基本定理 空间向量的正交分解 任意三个不共面的向量都可以作为基向量 如果是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得xyz x、z是在三个坐标轴上的投影向量 x、y、z是在三个坐标轴上的投影数量 （x,y,z）是的三个坐标 环节一 空间向量 运算的坐标表示 回顾：什么是标准正交基？ 1、空间向量运算的坐标表示 在空间直角坐标系中，分别沿着x轴、y轴、z轴正方向作单位向量，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{}，叫作标准正交基。叫作坐标向量。 对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得xyz （x,y,z）是的三个坐标 x y z i j k O 1、空间向量的数量积 （2,3,4） 思考1=2+3+4,你能说出的坐标吗？ 思考2用表示，那你知道A点的坐标吗？ （2,3,4） 思考3：你发现了什么？ 向量终点坐标A(x,y,z) 向量坐标=(x,y,z) 一一对应 例 1 设{i，j，k}是标准正交基，已知向量p＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，求向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标 解答：依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8（i＋j）＋6（j＋k）＋4（k＋i） ＝12i＋14j＋10k， 故向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标是（12，14，10）. 例 2 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1的中点为M，B1D1的中点为N，若以{}为标准正交基，求的坐标。 解析：因为M是AD1的中点，N是B1D1的中点， 所以＝＝＝（＋）＝0·＋＋，所以在{，，}下的坐标为（0，，）.故选C. 环节二 空间向量 的基本运算 思考1：平面向量有什么运算及运算法则？它可以推广到空间向量吗？ 2、空间向量的基本运算 若＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 ＋ ＋＝_______________________ 减法 － －＝_______________________ 数乘 λ λ＝______________，λ∈R 数量积 · ·＝________________ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1,λa2,λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3 思考2：若A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)，如何求？ 2、空间向量的基本运算 ＝(x2-x1，y2-y1，z2-z1) 终点坐标 - 起点坐标 思考3：若(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2)，如何判断这两个向量是平行还是垂直关系？ 已知向量a＝（3，－2，1），b＝（－2，4，0），则4a＋2b等于（　D　） A.（16，0，4） B.（8，－16，4） C.（8，16，4） D.（8，0，4） 解析：4a＝（12，－8，4），2b＝（－4，8，0），∴4a＋2b＝（8，0，4） 已知空间向量a＝（2，2，－3），b＝（0，6，m），若a⊥b，则m＝（　D　） A. B.1 C.2 D.4 解析：a·b＝12－3m＝0，解得m＝4.故选D. D D 例 1 例 2 例 3 若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三点共线，则m＋n＝ 　－3　⁠. 解析：＝（3，－1，1），＝（m＋1，n－2，－2）. ∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ， 即（m＋1，n－2，－2）＝λ（3，－1，1）＝（3λ，－λ，λ）， ∴解得∴m＋n＝－3. －3 已知a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2）.（1）若｜c｜＝3，d＝b－a，且c∥d，求c；（2）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 解答:（1）设c＝λd，∵d＝b－a＝（－2，－1，2）， ∴c＝（－2λ，－λ，2λ），∴｜c｜＝＝3｜λ｜＝3， 解得λ＝±1.∴c＝（－2，－1，2）或c＝（2，1，－2）. 例 4 （2）∵a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），∴ka＋b＝（k－1，k，2）， ka－2b＝（k＋2，k，－4）.∵（ka＋b）⊥（ka－2b），∴（ka＋b）·（ka－2b）＝0， 即（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝2k2＋k－10＝0，解得k＝2或k＝－. 例 5 已知a＝