湖南省常德市第一中学2024届高三上学期第四次月考数学试题

常德市一中2024届高三第四次月水平检测 数学 时量：120分钟 满分：150分 命题人： 审题人： 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，总分40分） 1．已知是实数集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ）. A． B． C．2 D．1 3．圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（    ）. A． B． C． D． 4．已知是相互垂直的单位向量.若向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．数列1，，，…，，…的前项和为（    ）． A． B． C． D． 6．我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（　　）      A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为是正方形（含边界）内的动点，点到平面的距离等于，则两点间距离的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 8．已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线对称的点在的图像上，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，总分20分） 9．已知平面向量.下列命题中的真命题有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且与的夹角为，则 10．等差数列的前项和记为，若，则成立的是（    ） A． B．的最大值是 C． D．当时，最大值为 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若在区间上单调递增，则 B．若，则直线为曲线的一条对称轴 C．若，则 D．若，则曲线与直线有5个交点 12．已知正方体的棱长为1，点E，F分别是棱AD，AB上的动点，G是棱的中点，以为底面作三棱柱，顶点也在正方体的表面上．设，则（    ） A．，直线与直线所成的角均为 B．，使得四面体的体积为 C．当时，直线与平面所成角的正切值为 D．当时，若三棱柱为正三棱柱，则其高为 三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，总分20分） 13．已知等差数列的前n项和为，满足，，则 . 14．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 15．开封铁塔是宋都开封具有代表性的文物，是文物价值最高、份量最重的宝物之一．1961年，它被国务院定为中国首批国家重点保护文物之一．如图，为测量开封铁塔的高度，选择和一个楼房的楼顶为测量观测点，已知在水平地面上，开封铁塔和楼房都垂直于地面．已知，，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则开封铁塔的高度为 ．   16．已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为 ． 四、解答题（本题共6个小题，总分70分） 17．（10分）如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且. （1）求证：平面； （2）求该几何体的体积． 18．（12分）在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足. (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围. 19．（12分）已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，若数列满足，求证：． 20．（12分）如图，在四棱台中，平面平面ABCD，底面ABCD为正方形，，. (1)求证：平面. (2)点在直线上，且平面MCD，求与平面所成角的正弦值. 21．（12分）已知双曲线：（，）的右焦点为，的渐近线与抛物线：（）相交于点． (1)求，的方程； (2)设是与在第一象限的公共点，不经过点的直线与的左右两支分别交于点，，使得． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）过作，垂足为．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 22．（12分）已知函数， ，其中，是自然对数的底数． (1)若在上恒成立，求实数的取值范围； (2)设，在（1）的条件下，讨论关于的方程在上解的个数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】化简集合A,B，根据补集、交集运算即可得解. 【详解】，， ， . 故选：A 2．C 【分析】先根据复数的乘