上海市回民中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

1 / 4 2023学年第一学期高二数学期中试卷 一、填空题（每题 4分，共 10题） 1. 空间两两相交且不共点的三条直线可以确定 平面． 2. 一个边长为 4 的正方形的直观图的面积为 ． 3. 将边长分别为 1cm和 2cm 的矩形，绕边长为 2cm的一边所在的直线旋转一周得到一旋转 体，则该旋转体的体积为 3cm ． 4.已知数列 }{ n a 满足 1 1 =a ， n + 1 n a = a + 1 (n N , n 1 )≥ ，则 = n a ． 5. 在棱长为 2的正方体 1 1 1 1 A B C D A B C D− 中，直线 1 1 B C 到平面 1 1 A D C 的距离为 ． 6. 一个平面截一个球得到面积为 12 的圆面，球心到这个圆面的距离等于球半径的一半， 则该球的体积等于 ． 7. 点 P 是Δ A B C 所在平面外一点，且 P 到Δ A B C 三顶点距离相等，则 P 点在平面 A B C 上的射影是Δ A B C 的 心（选填“重心”、“外心”、“内心”） ． 8. 用数学归纳法证明 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 , 1 6 ≥ + + + + + + =  n n n n n N n 的过程中，当 1= +n k 时，左端应在 =n k 时的左端上加上 9. 以下命题中，所有真命题的序号为 ① 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ② 垂直于三角形两边的直线必垂直第三边； ③有两个面互相平行，其余的面都是平行四边形的多面体是棱柱； ④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面都是全等的等腰三角形； 10. 我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理：“幂势既同，则积 不容异。”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。下图（1）是一种“蒙古包”的 简易视图，其中底面 A B C D 是个正方形，曲线 A O C 和 B O D 均是以 2为半径的半圆，平面 A O C 和平面 B O D 均垂直于底面。想要计算该蒙古包的体积V 就可以利用祖暅原理，构造 一个与蒙古包同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图（2））， 从而求得V = ． 2 / 4 （ 第 10题图） 二、选择题（每题 3分，共 4 题） 11. 当我们停放自行车时，只要将自行车的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了 （ ） A. 三点确定一个平面 B. 不共线三点确定一个平面 C. 两条相交直线确定一个平面 D. 两条平行直线确定一个平面． 12. 设m 、 n 是两条不同的直线， 、  是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A.“直线 a 、 b 不相交” 是“直线 a 、 b 为异面直线”的充分非必要条件； B. 内有不共线三点到  距离相等,则  // C.若直线 αmnm ⊥⊥ , ，则 αn // ； D.若 nm // ，  ⊥⊥ nm ，则 13.下列命题中不正确的是 ( ) （A）相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 （B）正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等 （C）圆柱的母线垂直于底面 （D）过球面上两点的大圆有且只有一个 14.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难， 次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一 个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为 （ ） A．228 里 B．192 里 C．126 里 D．63 里 三、解答题（10 分+10分+10 分+14分，共 4题） 15. （本题满分 10分）已知数列 na 是等差数列，且 2 25a = − ， 3 52 50a a+ = − . (1)求 na 的通项公式；(2)若数列 na 的前 n 项和为 nS ，求 nS 及其最小