第一章 三角形的证明章末小结与复习-【数学一号】2023-2024学年八年级下册数学全能讲练一体化（北师大版）

八年级（下册）·B5 第一章章末小结与复习 思维导图 (2)试探索AB+AC与四边形ADEF的周长 之间的关系 性质：①等边对等角：②推论： 【思路导航】(1)要证明△ABC是等腰三角 等腰三角形 三线合一 判定：等角对等边 形，需证明两个内角相等：(2)利用等腰三角 性质：三个内角都相等，都等于 形的性质得出边之间的关系，从而得到结论· 等边三角形判定：①三个角 :②一个 角等于60°的等腰三角形 反证法 性质：①锐角互余：②30°角所 对的直角边等于斜边的 三直角三角形 判定：①两角互余；②勾股定理 角 举一反三 的逆定理 形 直角三角形全等的判定 1.如图，在△ABC中，AC=AD=BD,∠DAC= 的 互逆命题与互逆定理 80°，则∠B的度数是 证 性质：线段垂直平分线上的点到 明 这条线段两个端点的距离 线段的垂判定：到一条线段两个端点距离 直平分线 相等的点，在这条线段的 B D (第1题图) (第2题图) 上 2.如图，在△ABC中，ED∥BC,∠ABC和 三角形三边的垂直平分线 尺规作线段的垂直平分线 ∠ACB的平分线分别交ED于点G,F.若 性质：角平分线上的点到这个角 BE=3,CD=4,ED=5,则FG的长为 的两边的距离 3.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E,F分别 判定：角内部到角两边距离相等的 角平分线 在边AB,BC,AC上，且BE=CF,BD=CE. 点在这个角的 上 (1)求证：△DEF是等腰三角形： 三角形三个内角的平分线 尺规作角平分线 (2)当∠A=45时，求∠DEF的度数. 要点讲练 要点一 等腰三角形的性质与判定 例①如图，在△ABC 中，DE∥AC,EF∥ AB,∠BED=∠CEF (1)求证：△ABC是C 等腰三角形： 444◆ 第一章三角形的证明 要点二 等边三角形的性质与判定 要点三直角三角形 例②如图，在△ABC 例③如图，AB= 中，AB=AC,∠BAC AC,点D,E分别在 120°，AD⊥BC,垂足为 AC,AB上，AG⊥BD G,AD=AB,点E,F分 于点G,AF⊥CE于 B 别在边AB,AC上，且∠EDF=60°.求证： 点F,且AE=AD,EF=DG,求证：BG=CF (1)△ABD是等边三角形： 【思路导航】BG和CF分别在Rt△ABG和 (2)BE=AF. R1△ACF中，要证明BG=CF,只需要证明 【思路导航】(1)易知△ABD是等腰三角形， Rt△ABG≌Rt△ACF. 再证明其中一个角等于60°即可得出结论： (2)BE和AF分别在△BDE和△ADF中， 可通过证明△BDE2△ADF得出BE=AF. 举一反三 举一反三 1.如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AD平分 1.如图，点D是等边三角 ∠BAC交BC于点D, 形ABC的边AC上一 DE∥AB交AC于点 B 点，以BD为边作等边 三角形BDE(点E,C E,CE=3,CD=3,则AD的长为 在BD两侧).若BC=10,BD=9,则△ADE 2.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC= 的周长为 60°，D为BC上一点，∠ADC=60°，AE⊥ 2.(2021·双流区校级期中)如图，已知 BC于点E,CF⊥AD于点F,AE,CF相交 △ABC,△CDE都是等边三角形，AD,BE 于点G. 相交于点O,点M,N分别是线段AD,BE (1)求∠DAC的度数： 的中点， (2)求证：DF=FG: (1)求证：AD=BE: (3)若CD=2,求线段 (2)求∠DOE的度数： EG的长. (3)求证：△MNC是 等边三角形. 445 八年级（下册）·BS 要点四 线段的垂直平分线和角平分线的 3.如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂 综合 直平分线，分别过点D作DE⊥AB,DF⊥ 例④如图，在△ABC 直线AC,垂足分别为E,F,且BE=CF, 中，∠ACB>90°， (1)求证：AD为∠CAB的平分线： AD平分∠CAB交 (2)若AB=8,AC=6,求AE的长 BC于点D,DE垂直平分AB,交AB于点E. (1)若∠ACB=108°，求∠B的度数： (2)若AC=22,CD=13,DE=12,求△ACD 的周长 【思路导航】(1)根据线段垂直平分线的性质 可知AD=BD,从而得到∠DAE=∠B,根据 角平分线的性质得到∠CAB=2∠B,再结合 已知条件即可求解；(2)过点D作DF⊥直线 AC于点F,根据角平分线的性质得到DF 要点五作图与反证法 DE,根据勾股定理即可求解， 例⑤用反证法证明“一个三角形中最多有一 个纯角”，可以先假设 A.三角形中至少有一个钝角 B.三角形中至少有两个钝角 C.三角形中至多有一个钝角 D.三角形中至多有两个钝角 【思路导航】利用反证法证明一