第一章 专题2 线段的垂直平分线与角平分线的综合应用-【数学一号】2023-2024学年八年级下册数学全能讲练一体化（北师大版）

八年级（下册）·BS 专题2线段的垂直平分线与角平分线的综合应用 类型一 利用垂直平分线和角平分线求角 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分 L.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC ∠CAB,交BC于点D,DE⊥AB于点E,且 于点D,BC的垂直平分线交BC于点E,交 E为AB的中点， BD于点F,连接CF.若∠A=60°，∠ABD= (1)求∠B的度数； 25°，则∠ACF的度数为 (2)若DE=5,求BC的长. (第1题图) (第2题图) 2.如图，已知△ABC的三条内角平分线相交于 点I,三边的垂直平分线相交于点O.若 ∠BOC=148°，则∠B1C的度数为 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的 平分线交BC于点D,DE是AB的垂直平 分线，垂足为E (1)求∠CAD的大小： (2)若BC=3,求DE的长， 6.如图，在△ABC中，∠ACD=90°，AB=10, AC=6,AD平分∠BAC,交BC于点D,DEL AB,垂足为E,连接CE. (1)判断线段AD与CE是否垂直，并说明 理由； (2)求△BDE的周长. 类型二利用垂直平分线和角平分线求线段长 4.如图，已知∠BAC= 60°，AD是∠BAC的 平分线，且AD=20, 作AD的垂直平分线 交AC于点F,连接 DF,过点D作DE⊥AC于点E,则△DEF 的周长为 442◆ 第一章三角形的证明 类型三】 利用垂直平分线和角平分线进行 类型四 角平分线与线段的垂直平分线的 证明 探究性问题 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平 9.如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB 分线交AC于点E,交AB于点D.F是BC 于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于 上一点，FE平分∠AFC,交AC于点E, 点O. EG⊥AF于点G.求证： (1)求证：AD垂直平分EF: (1)AG=BC; (2)若∠BAC=60°，试写出DO与AD之间 (2)AF+BF=2BC. 的数量关系，并进行证明. 8.如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线 10.如图，已知AF平分∠BAC,BC垂直平分 垂直平分线段AC,过点A作BC的平行线 AD,垂足为E,点P在CF上，连接PB交 AF,交CD于点F,延长AB,DC交于点E. 线段AF于点M,连接CD,CM 求证： (1)求证：AB∥CD: (1)AC平分∠EAF: (2)若∠CDA=∠MPC,试判断∠F与 (2)∠FAD=∠E. ∠MCD之间的数量关系，并说明理由. 443DN⊥MG,∴.SaMN=SaN,:AD是△AEC的角平分线， DF⊥AB,DN⊥AC,.DF=DN.在Rt△DEF和Rt△DMN ∠BAC=30.·∠DAC=号∠BAC=15.÷∠CDA= 中，DEDM:R△DEF@R△DMN(H.DE 75.易得∠MFC=45,∠MFN=120,∴∠NFE=15 ∴.∠NEF■75”■∠MDF.在△DMF和△ENF中， DM,S△wr=SN·易得△ADE2△ADM.S么M球 ∠DMF=∠ENF, SAAw.Saa=SAu,一SAw=SAN一SAMe=49-40 ∠MDF-∠NEF,.△DMFa△ENF(AAS).∴.FE =.5mw=5aw-25am-7X9-号 MF-NF. -FD. 10,4【解析】如图，延长DA交CB的 延长线于点M.DE,CE分别平 分∠ADC和∠BCD,·∠ADC+ ∠BCD=2(∠EDC+∠ECD)= 2(180°-∠DEC)=130°..∠M= 180°-（∠ADC+∠BCD)-50.: BF∥AD,∴.∠CBF=∠M=50. 图1 图2 :∠CBF=年∠BCE.∠BCE=40.∠BFC=90 (2)(1)中结论仍然成立.证明如下：如图2，过点F作FM :CE=2BF,SE=4,∴CE=4.故答案为1， ⊥BC于点M,FN⊥AB于点N,连接BF,则∠DMF 11.证阴：如图，连接AP,并延长交BC B FG ∠ENF-9O.:F是角平分线的交点，∴BF是∠ABC的 于点G.PD⊥AC,PE⊥AB,PF 平分线.，MF=NF.∠ABC-60,.∠MFN=180° ⊥BC,PD-PE-PF,.点P是 ∠ABC-120.'∠CFA-180-(∠FAC+∠FCA) △ABC的三条角平分线的交点， 180-2(∠BAC+∠ACB)=180-180-∠A) ∴.AP平分∠BAC.CP平分∠ACB,BP平分∠ABC. ∠CAG-∠BAG-子∠BAC,∠ACP-∠ACB.∠ABP 180°-专×(180-609）=120，÷∠DFE=∠CFA ∠MFN=120°，又，∠MFN=∠MFD+∠DFN,∠DFE -7∠ABC·∠CPG-∠CAP+∠ACP-2(∠BAC+