第一章 专题1 等腰三角形中的常见辅助线-【数学一号】2023-2024学年八年级下册数学全能讲练一体化（北师大版）

八年级（下册）·B5 专题1等腰三角形中的常见辅助线 类型一 利用等腰三角形的“三线合一”作 类型二截长补短法构造等腰三角形 辅助线 3.如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD是 1.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB, △ABC的角平分线.求证：AC-AB+BD. BD⊥CD,∠A=∠ABD.若BD=1,BC= 3,求AC的长. D 4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,AD= 2.如图，在△ABC中，AC-2AB,AD平分 AB,CM⊥AD,交AD的延长线于点M.求 ∠BAC,交BC于点D,E是AD上一点，且 证：AM=2(AB+AC. EA=EC.求证：EB⊥AB. 416◆ 第一章三角形的证明 类型三作平行线构造等腰三角形 类型四加倍折半法构造等腰三角形 5.如图，已知等边三角形ABC的边长为10， 7.如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC 点P在AB上，点Q在BC的延长线上， 至点D,延长BA至点E,使AE=BD,连接 AP-CQ.连接PQ与AC相交于点D,过点 EC,ED.求证：EC=ED. P作PE⊥AC于点E,求DE的长. B 6.已知△ABC为等边三角形，点D为AC上 的一个动点，点E为BC延长线上一点，且 BD=DE. (1)如图1，若点D在边AC上，试猜想线段 8.如图，已知CE,CB分别是△ABC和△ADC AD与CE之间的数量关系，并说明理由： 的中线，且AB=AC.求证：CD=2CE. (2)如图2，若点D在AC的延长线上，(1) 中的结论是否仍成立？请说明理由. 图1 图2 417课堂小结 ∴∠BCF=∠BAE=30°.当DF⊥CF时，DF最小，且DF 1,(1)都相等(2)602.一半 课后分层训练 的最小值=CD=十AB= 基础过关 思维拓展 1.B2.D3.A4.2005.26.26 7.证明：在△ABC中，AB=AC.∠BAC=120°，∴.∠B=∠C 13.0DE=号C【解桥1：∠ACB=90,∠A=30:∠B 30°.AD⊥AB,AE⊥AC,∴∠B+∠ADB=90,∠C -60,BC-号AB.“点D是AB的中点DB-号AB. ∠AEC=90,∴.∠ADE=60°，∠AED=60°.∴.△ADE是等 边三角形. .DB=CB.△DCB为等边三角形.DE⊥BC,∠B一 8.解：AD∥BC+.∠ADB=∠DBC,又AB=AD, 60∠BDE=30.∴BE-号DR.在R△BDE中，根据 ∠ADB=∠ABD.,∠DBC=∠ABD=30°.：DC⊥BC于 点C,'.∠C-90°.在Rt△BD中.：∠DBC-30°.BD-2. 勾股定理，科DE=VDB一E-号DB又：DB=BC, ∴.CD=2BD=1 DE-亨C故答案为DE-受C 能力提升 9.6【解析】在Rt△ABC中，，∠A-90,∠B-30°， （2)解：BF+BP=2DE,证明如下：：线段DP绕点D ∠ACB=60,,CM平分∠ACB,.∠ACM=∠MCB 逆时针旋转60°，得到线段DF,.∠PDF=60°，DP=DF 2∠ACB-30.MN∥BC,∠AMN-∠B-30, 又，△DCB为等边三角形，.∠CDB=60,DC=DB. ∠NMC-∠MCB-30°..∠NMC-∠ACM.又，∠A ∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB,即∠CDP=∠BDF 90°，AN=1,.MN=2AN=2..CN=MN=2..AC DC=DB. AN+CN-1+2-3.在Rt△ABC中，，∠A-90°，∠B- 在△DCP和△DBF中，∠CDP=∠BDF,,△DCP≌ 30,,BC-2AC-6.故答案为6. DP=DF. 10.8【解析】如图，延长ED交BC于点 △DBF(SAS)..CP=BF.又CP=BC-BP,.BF+BP M,延长AD交BC于点N.AB -BC.DE BC.BC DE.BF BP- AC,AD平分∠BAC,.AN⊥BC,BN 3 =CN.∠EBC=∠E=60. △BEM为等边三角形.，BE=EM., pe. BE=6.DE=2...DM=EM-DE=6 (3)BF-BP-2DE.证明如下：如 -2=4.△BEM为等边三角形， N AI ∠EMB=60.AN LBC,,∠DNM=9o..∠NDM 图同理(2)可证△DCP≌△DBF,, CP=BF,又"CP=BC+BP,BF 30.NM-号DM-2.∴BN-BM-NM-4.BC- BP-BC.:BF-BP-2 DE. 2BN=8.故答案为8. 3 11,(1)证明：，'△ABC和△BDE都是等边三角形，，AB= 专题1等腰三角形中的常见辅助线 CB,BE=BD.∠ABC=∠DBE=6O,∴.∠ABC+∠CBE 1,解：如图，延长BD交AC于点E, =∠DBE+∠CBE,即∠