精品解析：江苏省无锡市南菁高级中学2023-2024学年高一创新班上学期10月月考数学试题

江苏省南菁高级中学高一数学（创新班）10月考试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将答案填涂到答题卡相应区域 1. 将指数函数的定义域扩大到复数以后，有一个公式：，i是虚数单位，e为自然对数的底数.它建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，此公式被誉为“数学中的天桥”.根据公式可知，表示的复数对应的点位于复平面中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 国家统计局公报显示绘制出的2017-2021年每年本专科、中等职业教育及普通高中的招生人数（单位：万）统计图如下图所示，则下列关于2017-2021年说法正确的是（ ） A. 每年本专科、中等职业教育和普通高中的招生人数都在增长 B. 中等职业教育和普通高中的招生人数差距最大的年份是2019年 C. 本专科每年的招生人数增幅最大的年份是2018年 D. 本专科招生人数所占比例最高的年份是2021年 3. 已知，为锐角，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若平面向量，，，两两夹角相等，且，，，则（ ）． A. 2 B. 4或 C. 5 D. 2或5 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（ ） A. -2 B. C. -1 D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9. 设有下面四个命题，其中正确的命题是（ ） A. 若复数z满足，则； B. 若复数z满足，则； C. 若复数满足，则； D. 若数，则 10. 已知向量，，它们的夹角为60°，则（ ） A. B. C. D. 向量与向量的夹角为90° 11. 下列说法正确的有（ ） A. ， B. 不存在无穷多个和的值，使得 C. 存在这样的和的值，使得 D. 当取最大值时， 12. 在中，内角、、所对应边分别为、、，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若点为重心，则 C. 若，的三角形有两解，则的取值范围为 D. 若点为内一点，且，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知总体各个个体的值由小到大依次为，且总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则a=____. 14. 已知，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围______. 15. 如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为________海里． 16. 已知平面向量满足，，且.记的夹角为，则的最小值为___________；的最小值为___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在中，，，分别为内角，，的对边，且满. （1）求的大小； （2）再在①，②，③这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求的面积. 18. 已知，锐角，， （1）求的值； （2）求的值． 19. 如图，在中，已知为边上的中点，点在线段上，且； （1）求线段的长度， （2）设与相交于点，求的余弦值. 20. 需要从一块宽为6米、长不限的矩形钢板上截取一块直角梯形模板（、分别在、上），且满足腰上存在点，使得≌．设，米． （1）请用表示； （2）当的长为多少时，模板的面积最小，并求这个最小值． 21. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，P，Q为边BC上两点，＝2，∠CAQ＝． （1）求AQ的长； （2）过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，AC于M，N两点，设，（xy≠0），求x+y的最小值． 22. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，. （1）求证：是直角三角形； （2）已知，，点P，Q是边AC上的两个动点（P，Q不重合），记. ①当时，设的面积为，求的最小值； ②记，.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省南菁高级中学高一