数列裂项相消题型及公式汇编 专题讲义-2024届高三数学一轮复习

数列裂项专题 题型一：等差型 例题1．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为 (1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和. 例题2．等差数列各项均为正数，，前n项和为，等比数列中，，且． (1)求与；(2)证明：． 例题3.已知数列的前项和满足，，为数列的前项和.（分段裂项） (1)求数列的通项公式；(2)求使成立的的最大值. 例题4.已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且成等比数列. (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求的取值范围. 例题5.已知数列满足：，数列满足：． (1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和． 例题6．在数列中，，，是公差为1的等差数列. (1)求的通项公式；(2)设______，为数列的前项和，证明：. 从下面条件中任选一个补充在题中横线处，并解答问题.①；②；. 题型二：无理型 例题1.设各项均不为零的数列的前项和为，且对于任意，满足. (1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前99项和. 例题2.在等比数列中，，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求不等式的解集． 例题3.已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：当时，． 题型三：指数型 例题1．已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：. 例题2．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知数列满足. (1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：. 例题3.在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：设数列的前项和为，，且______． (1)求；(2)若，求数列的前项和． 例题4.设正项数列的前n项和为，已知，且. (1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和. 对数型：例题1.已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式；(2)记数列的前项和为，求集合中元素的个数. 题型四：放缩法裂项证明不等式 例题1.数列中， (1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明. 例题2.已知各项均为正数的数列的前 项和为，且满足， （1）求的值；（2）求数列的通项公式； （3）证明：对一切的正整数都有 例题3.已知正项数列的前项和为，且. (1)求；(2)设，数列的前项和为，证明：. 例题4.已知数列中，，当时，其前项和满足：，且，数列满足：对任意有. (1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式；(3)设是数列的前项和，求证：. 数列放缩 ( 第 2 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$