专项3 勾股定理中的数学思想方法-【勤径学升】2023-2024学年八年级上册数学同步练测配套教师用书（北师大版）

分类讨论思想在勾股定理中的应用　　 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP2的值为________． 已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝4，AD＝3，AB＝2AC，求BC2的值． 方程思想在勾股定理中的应用　　 (洛阳伊滨区期中)如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD，则CD的长为(　　) A．1　　　B．　　　C．　　　D． (云南昆明八中月考)把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E，F两点均在BD上)，折痕分别为BH，DG．若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则线段FG的长为________． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，点D为AC上的一点，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB上的点E处，求AD的长． 转化思想在勾股定理中应用　　 如图，有一个长、宽各为2 dm，高为3 dm且封闭的长方体纸盒，一只昆虫要从顶点A爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为(　　) A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm (杭州文晖实验学校期中)如图，直线l上有三个正方形A，B，C．若正方形A，C的面积分别为4和3，则正方形B的面积为(　　) A．6 B．7 C．10 D．25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项3　勾股定理中的数学思想方法 1．10或13　[解析]分两种情况：①如答图①，当点P是靠近点B的三等分点时，因为AC＝BC＝3，所以PB＝BC＝1，所以CP＝2，所以AP2＝AC2＋PC2＝13；②如答图②，当点P是靠近点C的三等分点时，AC＝BC＝3，所以PC＝BC＝1，所以AP2＝AC2＋PC2＝10.综上所述，AP2的值为10或13. 2．解：分两种情况： ①当高CD在△ABC内部时，如答图①. 因为CD⊥AB，所以∠CDA＝90°. 因为CD＝4，AD＝3. 所以AC2＝AD2＋CD2＝42＋32＝52， 所以AC＝5. 因为AB＝2AC，所以AB＝10， 所以BD＝AB－AD＝10－3＝7， 所以BC2＝BD2＋CD2＝72＋42＝65； ②当高CD在△ABC外部时，如答图②， 同理，可得AC＝5，AB＝10. 所以BD＝AB＋AD＝10＋3＝13. 所以BC2＝CD2＋BD2＝42＋132＝185. 综上所述，BC2的值为65或185. 3．C　[解析]在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，所以AB2＝AC2＋BC2，所以△ABC是直角三角形，因为AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，所以AD＝DB，设CD为x，则AD＝DB＝8－x，在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD2＋BC2＝DB2，即x2＋62＝(8－x)2，解得x＝，即CD＝. 4．3 cm　[解析]由折叠的性质，得△CDG≌△FDG， 所以FD＝CD＝AB＝6 cm，FG＝CG，∠DFG＝∠C＝90°， 在Rt△BCD中，BC＝8 cm，CD＝AB＝6 cm， 根据勾股定理，得BD2＝82＋62＝100＝102， 所以BD＝10 cm， 所以BF＝BD－DF＝10－6＝4(cm). 在Rt△BGF中，设FG＝CG＝x cm， 则有BG＝BC－CG＝(8－x)cm， 根据勾股定理，得(8－x)2＝x2＋42， 整理，得－16x＋64＝16.即16x＝48， 解得x＝3，则FG＝3 cm. 5．解：由折叠性质可知，BE＝BC＝3 cm，DE＝DC，∠BED＝∠C＝90°， 所以∠AED＝90°， 因为AB＝5 cm，所以AE＝AB－BE＝2 cm. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm， 所以AC2＝AB2－BC2＝16＝42，所以AC＝4 cm. 设AD＝x cm，则DE＝DC＝AC－AD＝(4－x) cm， 在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2， 即22＋(4－x)2＝x2， 解得x＝2.5，所以AD＝2.5 cm. 6．C　 7．B　[解析]如答图，因为A，B，C都是正方形， 所以DF＝FH，∠DFH＝90°. 因为∠DFE＋∠HFG＝∠EDF＋∠DFE＝90°， 所以∠EDF＝∠HFG. 在△DEF和△FGH中， 所以△DEF≌△FGH(AAS)， 所以DE＝FG，EF＝GH. 在Rt△DEF中，由勾股定理，得DF2＝DE2＋EF2＝DE2＋GH2，所以SB＝SA＋SC＝4＋3＝7. 学科网（北京）股份有限公司 $$