专项2 勾股定理与最短路径问题-【勤径学升】2023-2024学年八年级上册数学同步练测配套教师用书（北师大版）

平面图形上的最短路径问题　　 如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点E在CD边上，且CE＝3DE，点P是对角线AC上的动点，则PE＋PD的最小值为________． (恩施州中考)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为(　　) A．5　 　 　B．6　 　 　C．7　 　 　D．8 台阶中的最短路径问题　　 如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只壁虎从A点出发，沿着台阶爬到B点，至少需爬(　　) A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm 柱体表面的最短路径问题　　 如图，若圆柱的底面周长是50 cm，高是120 cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是(　　) A．170 cm B．70 cm C．145 cm D．130 cm 长方体(或正方体)表面的最短路径问题　 如图，有一个棱长为9 cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到点C(点C在一条棱上，距离顶点B 3 cm处)，则这只蜜蜂需爬行的最短路程是________ cm． 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B为棱上一点，且BC＝5，如果蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项2　勾股定理与最短路径问题 1．10　[解析]如答图，连接BE，设BE与AC交于点P′，连接P′D，因为四边形ABCD是正方形，所以点B与D关于AC对称，所以P′D＝P′B，所以P′D＋P′E＝P′B＋P′E＝BE，此时PE＋PD的值最小，因为AB＝8，CE＝3DE，所以BC＝CD＝4DE＝8，所以DE＝2，CE＝8－2＝6，在Rt△CBE中，BE2＝BC2＋CE2＝64＋36＝100，所以BE＝10，所以PE＋PD的最小值为10. 2．B　[解析]如答图，连接ED交AC于点F′，连接BF′. 因为四边形ABCD是正方形， 所以点B与点D关于AC对称． 所以BF′＝DF′. 所以△BF′E的周长＝BF′＋EF′＋BE＝DE＋BE，此时△BEF的周长最小． 由勾股定理，得DE＝5，则△BF′E的周长＝DE＋BE＝5＋1＝6. 3．C　4．D 5．15　[解析]如答图，AC的长即为这只蜜蜂需爬行的最短路程．由题意，得CD＝9 cm，AD＝3＋9＝12(cm)，所以AC2＝AD2＋CD2＝92＋122＝225＝152，所以AC＝15 cm. 6．解：按照答图①展开，因为长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， 所以AC＝CD＋AD＝20＋10＝30， 在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝302＋52＝925； 按照答图②展开，因为长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5. 所以BD＝CD＋BC＝10＋5＝15，AD＝20， 在Rt△ABD中， 所以AB2＝BD2＋AD2＝152＋202＝625＝252； 按照答图③展开，因为长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， 所以BE＝AD＋BC＝20＋5＝25，AE＝10； 在Rt△AEB中， 所以AB2＝AE2＋BE2＝102＋252＝725， 因为625<725<925， 所以蚂蚁按答图②爬行时，距离最短， 所以爬行的最短距离是25. 6题答图 学科网（北京）股份有限公司 $$