湖南省长沙市雅礼教育集团2023-—2024学年九年级上学期数学能力测试

2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团九年级（上）能力测试数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第II卷（非选择题） 一、填空题（本大题共16小题，共80.0分） 1.下列因式分解正确的是______ 填序号 ； ； ； ． 2.已知，，，则、、三个数的大小关系是______ ． 3.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围部是______ ． 4.一个数的小数部分用表示，为整数，且，记，的小数部分分别为，，则 ______ ． 5.关于的不等式组的整数解仅有个，则的取值范围是______ ． 6.一次函数与图象之间的距离等于，则的值为______． 7.函数的函数值随自变量的增大而减小，下列描述中：；函数图象与轴的交点为；函数图象经过第一象限；点在该函数图象上，正确的描述有______ 填写番号 8.我们知道，若则有或如图，直线与分别交轴于点、，则不等式的解集是______ ． 9.若直线：与轴、轴分别交于点和点，直线：与轴、轴分别交于点和点，线段与的中点分别是，，点为轴上一动点． 点的坐标为______ ； 当的值最小时，点的坐标为______ ． 10.方程和有一个公共根，则的值是______ ． 11.已知关于的方程的根都是整数，则满足条件的整数的值为______ ． 12.已知实数，满足，，且，则的值为______ ． 13.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，为的中点，点到，的距离分别为和，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为______ ． 14.如图，在正方形中，为上一点，过点作，交于，交对角线于，取的中点，连接，，下列结论： ； 且； ； ≌； 若，则， 其中哪些结论是正确的______ 填序号 15.已知，，，，均为非零实数，且满足，则的值为______． 16.二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论： ； ； ； 若方程有两个根和，且，则； 若方程有四个根，则这四个根的和为． 其中正确的结论为______ ． 二、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.本小题分 已知，，为正数，且，求的值． 18.本小题分 已知：在中，，，点为直线上一动点点不与、重合以为边作正方形，连接． 如图，当点在线段上时，求证： ； ． 如图，当点在线段的反向延长线上时，且点、分别在直线的两侧，其它条件不变： 请直接写出、、三条线段之间的关系； 若连接正方形对角线、，交点为，连接，探究的形状，并说明理由． 19.本小题分 我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”． 在“平行四边形，矩形，菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有______ ； 若凸四边形是“十字形”，，，则该四边形的面积为______ ； 如图，以“十字形”的对角线与为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若计“十字形”的面积为，记，，，的面积分别为：，，，，且同时满足四个条件：；；“十字形”的周长为；；若为的中点，为线段上一动点，连接，动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动，当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求点走完全程所需的时间及直线的解析式． 20.本小题分 如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点． 求抛物线的解析式； 存在正实数，，当时，恰好满足，求，的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：，则正确； ，则错误； 无法因式分解，则错误； ，则错误； 综上，正确的是， 故答案为：． 将各式因式分解后进行判断即可． 本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：， ， ， 又， ， ． 故答案为：． 利用负数指数幂的意义，分数指数幂的意义和实数的大小比较法则解答即可． 本题主要考查了分数指数幂，实数的大小比较，熟练掌握分数指数幂的意义是解题的关键． 3.【答案】且．  【解析】【分析】 本题考查了根的判别式，根据方程根的个数结合二次项系数非找出关于的不等式组是解题的关键． 根据根的判别式，结合二次项系数非，即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【解答】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得，且． 故答案为且． 4.【答案】  【解析】解：，的小数部分分别为，， ， ， ． 故答案为：． 先根据，的小数部分分别为，，得出，，最后代入进行计算即可． 本题主要考查了估算无理