第04讲 拓展一：非线性经验回归方程（精讲）-【学霸之路】2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考）

第04讲 拓展一：非线性经验回归方程 目录 第一部分：知识点必背 1 第二部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：指数型 3 高频考点二：对数型 9 高频考点三：幂函数型 15 第一部分：知识点必背 知识点一：非线性经验回归 当经验回归方程并非形如(）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总结如下： 曲线方程 变换公式 变换后的线性关系式 建立非线性经验回归模型的基本步骤 1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量； 2.由经验确定非线性经验回归方程的模型； 3.通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）； 4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程； 5.消去新元，得到非线性经验回归方程； 6.得出结果后分析残差图是否有异常 ． 知识点二：非线性经验回归类型 非线性回归方程主要分为三大类，指数型，对数型，幂函数型，做题关键在于变量之间的转换 1、指数型： ①类型一，，处理方式是对方程两边取对数（具体取什么对数观察参考数据，自然对数和常用对数用的较多），比如e为底数，取ln，则现在方程变为，，将进行换元，，则非线性回归方程变成线性回归直线方程； ②类型二，，此为类型一的变式，多了常数项部分，常见的变化形式为（具体取什么对数观察参考数据，自然对数和常用对数用的较多），令，则非线性回归方程变成线性回归直线方程 2、对数型： ①类型一，形如，则令，则非线性回归方程变成线性回归直线方程 ②类型二，，两边同时消掉对数，（取什么底数判断方法同上）取，令，则非线性回归方程变成线性回归直线方程 3、幂函数型： ①类型一，，，等等，处理方式是将方程中幂函数部分换成一个新变量，比如，，，然后将非线性回归方程变成线性回归直线方程 ②类型二，，做法同指数型，变化方式为两边取对数（底数判断方式同上），令，则非线性回归方程变成线性回归直线方程 第二部分：高频考点一遍过 高频考点一：指数型 典型例题 例题1．（2023春·高二课时练习）为了研究某种细菌随时间x变化的繁殖个数y，收集数据如下： 天数x 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y 6 12 25 49 95 190 求y关于x的回归方程． 参考数据：ln 6≈1.79，ln 12≈2.48，ln 25≈3.22，ln 49≈3.89，ln 95≈4.55，ln 190≈5.25. 例题2．（2023春·高二课时练习）为了研究甲型H1N1中的某种细菌随时间x变化的繁殖个数y，收集数据如下： 天数x 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y 6 12 25 49 95 190 求y对x的回归方程. 例题3．（2023·全国·高二专题练习）三年疫情对我们的学习生活以及各个行业都产生了影响，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，公司旗下的某个楼盘统一推出了为期7天的优惠活动．负责人用表格记录了推出活动以后每天售楼部到访客户的人次，表格中x表示活动推出的天数，y表示每天来访的人次，根据表格绘制了以下散点图． x（天） 1 2 3 4 5 6 7 y（人次） 12 22 42 68 132 202 392 4.24 870 5070 134.82 140 6.96 1.78 表中，． (1)（i）请根据散点图判断，以下两个函数模型与（a，b，c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； （ii）根据（i）的判断结果以及表中的数据，求y关于x的回归方程． (2)此楼盘共有N套房，其中200套特价房，活动期间共卖出300套房，其中50套特价房，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值，X表示卖出的300套房中特价房的数目）． 附：对于样本（，2，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 例题4．（2023春·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期末）在隧道施工过程中，若隧道拱顶下沉速率过快，无法保证工程施工的安全性，则需及时调整支护参数．某施工队对正在施工的福州象山隧道工程进行下沉量监控，通过对监控结果进行回归分析，建立前t天隧道拱顶的累加总下沉量z（单位：毫米）与时间t（单位：天）的回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参数．已知该隧道拱顶下沉的实测数据如表所示： t（单位：天） 1