第03讲 成对数据的统计分析（精讲）-【学霸之路】2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考）

第03讲 成对数据的统计分析 目录 第一部分：知识点必背 1 第二部分：高考真题回归 3 第三部分：高频考点一遍过 4 高频考点一：成对数据的相关性 4 高频考点二：回归分析 6 角度1：经验回归方程及应用 6 角度2：非线性经验回归方程及应用 10 角度3：相关系数 17 角度4：残差分析 21 高频考点三：列联表与独立性检验 24 第一部分：知识点必背 知识点一：变量的相关关系 (1)两个变量有关系,但又没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系. (2)正相关、负相关 从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关;如果当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减小的趋势,则称这两个变量负相关.  (3)线性相关、非线性相关 一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关.  一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 知识点二：样本相关系数 （1）相关系数的计算 变量与变量的样本相关系数的计算公式如下： （2）相关系数的性质 ①当时,称成对样本数据正相关;当时,称成对样本数据负相关. 当时，成对样本数据间没有线性相关关系. ②样本相关系数的取值范围为,当越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强;当越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱. 知识点三：一元线性回归模型 (1)数学表述式:如果两个变量之间的关系可以表示为 我们称该式为关于的一元线性回归模型. 其中,称为因变量或响应变量,称为自变量或解释变量;和为模型的未知参数,称为截距参数,称为斜率参数;是与之间的随机误差. （2）经验回归方程 我们将称为关于的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，其中 （3）利用刻画回归效果 的计算公式为，其意义是越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差. 知识点四：列联表与独立性检验 (1)2×2列联表 如图,给出成对分类变量数据的交叉分类频数的数据统计表称为2×2列联表. 合计 合计 (2)独立性检验 依据上述列联表构造统计量 利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验. 常用的小概率值和临界值表 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第二部分：高考真题回归 1．（2023·天津·统考高考真题）调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（    ）    A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 2．（2022·全国·统考高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得． (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数． 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：成对数据的相关性 典型例题 例题1．（2023·全国·高二随堂练习）对四组数据进行统计，获得以下散点图（如图），将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的有（    ）   A． B． C． D． 例题2．（2023秋·高二课时练习）对两个变量的四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（    ）    A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r