3.3 幂函数-【赢在课堂】2023-2024学年高一数学同步精品课件（人教A版2019必修第一册）

3.3幂函数 复习导入 前面我们学习了函数的概念，利用函数概念和对图像的观察（数形结合），研究了函数的一些性质。本节我们利用这些知识研究一些新的函数。 新知探究 思考1：请同学们根据下列情境，写出相应的式子，并分析是否满足函数关系. (1)如果张红以1元的价格购买了某种蔬菜，那么她需要支付的金额表示为？ (2)如果正方形的边长为,那么正方形的面积表式为？ (3)如果立方体的棱长为，那么立方体的体积表式为？ (4)如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形场地的边长表示为？ (5)如果某人内骑车行进了，那么他骑车的平均速度表示为？ 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5). 新知探究 思考2：观察个情境中的函数解析式，它们有什么共同特征？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5). (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 幂的指数除了可以取整数之外，还可以取其他实数，当它们取其他实数时幂也具有各自的含义，这些会在后面学习. 都是以幂的底数为自变量； 幂的指数都是常数， 新知探究 3. 取值可以是任何实数 一、幂函数定义 一般地，函数 叫做幂函数( ) ，其中 为自变量， 为常数。 注：1. 中前的系数为1，且后面没有常数项 2. 定义域与的取值有关 形如：, , , . 练习巩固 辨析1.下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？ (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; 【答案】 (1),(4) 辨析2.(1) 在函数,,,中，幂函数的个数为（ ) (2) 若函数是幂函数，且满足，则的值等于___________. 【答案】 (1)(2) 新知探究 问题1：结合前面学习函数的经验，应该如何研究, , , 这五个幂函数？ 提示：先求函数的定义域 画出函数图象 研究函数的 单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等. 名称 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 新知探究 名称 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 O x y 1 1 -1 -1 O x y 1 1 -1 -1 O x y 1 1 -1 -1 O x y 1 1 -1 -1 O x y 1 1 -1 -1 奇 奇 奇 偶 非奇非偶 增： 减： 增： 增： 增： 减：， O x y 1 1 -1 -1 O x y 1 1 -1 -1 O x y 1 1 -1 -1 O x y 1 1 -1 -1 O x y 1 1 -1 -1 新知探究 问题2：同一坐标系下函数：的图象是怎样的？ 问题3：的图象是怎样的？ (1)幂函数图象不过第几象限？ (2)幂函数图象恒过哪些定点？ (3)幂函数的奇偶性如何？ 新知探究 当为奇数时，幂函数为奇函数； 当为偶数时，幂函数为偶函数． 时图象恒过点(1,1). 第四象限 时图象恒过点(1,1), (0,0); 新知探究 (4)幂函数的单调性如何？ ，在第一象限内递增； 时,图象下凹 ; 时,图象上凸. ，在第一象限内递减. ,指大图高 练习巩固 例2：判断证明幂函数是增函数. 证明：函数的定义域是. ,且,有 ∵,, ∴,即幂函数是增函数. 练习巩固 练习1：判断已知是幂函数，则________. 解：∵是幂函数 ∴， 得：或 变式1：已知幂函数在上单调递增，则等于（ ）. 【答案】 练习巩固 练习2：若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，问当为何值时，(1) 解：∵设,则 ∴=2.即 同理可得， 画出和的函数图象， 则由图象可知：当或时，； 当时，； 当时，. 练习巩固 变式2：若四个幂函数图象在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（ ）. 【答案】 新知探究 问题3：幂函数在上的单调性与有什么关系？ ，在第一象限内单调递增； ，在第一象限内单调递减。 问题4：和可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 在上单调递减，所以 练习巩固 练习3：比较下列各组数中两个数的大小. 与； 与； 解：(1)∵幂函数在上是单调递增的， 又，∴>. (2)∵幂函数在上是单调递减的， 又，∴. 练习巩固 练习3：比较下列各组数中两个数的大小. 与.