2023年中考二轮专题复习：含参数a的二次函数问题的求解策略

含参数a的二次函数问题的求解策略 代数综合题是中考的常见题型，其中参数a对抛物线的影响是代数综合题的重点考查内容之一.解决这类问题需要我们明确随着参数a的变化函数图象也随之发生变化的规律及边界状态，由边界状态和变化规律确定参数的取值范围. 例1.(2023年西城一模26)已知抛物线的对称轴为直线． （1）若点在抛物线上，求t的值； （2）若点，在抛物线上， ①当时，求a的取值范围； ②若，且，直接写出a的取值范围． 解：（1）∵ 点（2，4）在抛物线上， ∴ 4a＋2b＋4＝4．∴ b＝－2a．∴ ． （2）①当t＝1时，b＝-2a，所以． ∵ 点（，3），（，6）在抛物线上， ∴ 当a＞0时，如图1-1中实线抛物线， 有a -2a＋4≤3． 得a≥1． 当a＜0时，如图1-1中虚线抛物线， 有a -2a＋4≥6． 得a≤-2． 综上，的取值范围是a≤-2或a≥1． 图1-1 （3） ② 解法1： 分析:我们知道，当二次函数二次项系数a的值发生变化时，a的绝对值越小，抛物线开口越大.此题不能直接看出a的符号，需要进行分类讨论. 当a＞0，因变量的增量是定值时，a的值越小，自变量的增量越大．即当自变量的差值最小时，a取到最大值．所以当x2-x1=1时，a取最大值.如示意图1-2. 当a＜0时，已知t≤x1＜x2，可知点（x1，3）（x2，6）在对称轴的右侧，根据二次函数的性质可知，在对称轴的右侧因变量随自变量的增大而减小，与已知相矛盾，如示意图1-3，舍. 图1-2 图1-3 当抛物线上的两个点的横坐标之差固定不变，纵坐标之差也固定不变时，如示意图1-4 ，观察图象可以发现，这两个点越靠近顶点，抛物线的开口越小，a的值越大.所以当点（，3）的位置落在顶点的位置时，a的取值最大. 图1-4 图1-5 ∵点（，3），（，6）在抛物线上， ∴y1=3，y2=6，∴y2-y1=3 ∵t≤x1＜x2， ∴点（，3），（，6）在抛物线对称轴的右侧. ∴把点（t，3），（t+1，6）代入二次函数表达式y=ax2-2atx+4，解得a=3. ∴的取值范围是0＜a≤3． 当a＜0时，与已知t≤x1＜x2，y2＞y1相矛盾，舍. 综上， 的取值范围是0＜a≤3． 解法2： 由解法1可知，当a＞0时，当x1=t，x2-x1=1时，a有最大值.当抛物线的二次项系数a相同时，抛物线的开口大小，开口方向以及对应区间内的变化趋势都相同.即y=ax2+bx+4的 图象经过平移可以得到y=ax2的图象 . 如图1-5.因为（x1，3），（x2，6）在原抛物线上， 因此（0，0），（1，3）在抛物线y=ax2 上.解得a=3，∴的取值范围是0＜a≤3．当a＜0时，舍. 综上，的取值范围是0＜a≤ 3． 解法3： ∵ 点（，3），（，6）在抛物线上，∴ax12+bx1+4=3①，ax22+bx2+4=6②，②-①得到：a（x22-ax12）+b（x2-x1）=3.又∵对称轴为x=t.∴b=-2at，代入化简后可以得到： a（x2-x1）（x2+x1-2t）=3.根据t≤x1＜x2，x2-x1≥1得到，的取值范围是0＜a≤3． 例2.(2023年丰台二模26)在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线（a≠0）上． （1）求抛物线的对称轴； （2）若点（x1，5），（x2，-3）在抛物线上，求a的取值范围； （3）若点（m，y1），（m+1，y2）在抛物线上，对于任意的m≥3，都有≥3，直接写出a的取值范围． 解：（1）由题意得抛物线经过点（0，3）和点（4，3）， ∴抛物线的对称轴. （2）∵抛物线的对称轴， ∴. ∴抛物线顶点坐标为（2，3-4a）. ∵点，在抛物线上， ∴当a＞0时，如图2-1中实线抛物线， ，解得； 当a＜0时，如图2-1中虚线抛物线， ，解得. 综上所述，或. 图2-1 （4） 解法1： 当a＞0时，如图2-2，可