3.3.2抛物线的几何性质小练习（2）-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

3.3.2抛物线的几何性质小练习（2） 一、单项选择题 1. 点P为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是AA1，BB1，PP1，则下列结论中正确的是(　　) A. PP1<AB B. PP1＝AB C. PP1>AB D. PP1＝AA1＋BB1 2. 已知P是抛物线y2＝4x上的一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是(　　) A. B. C. 2 D. －1 3. 已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F且倾斜角为30°的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在点B的右侧)，则等于(　　) A. 9 B. C. D. 3 4. 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l，交抛物线于点A，B，交其准线于点C.若BC＝BF，且AF＝＋1，则此抛物线的方程为(　　) A. y2＝x B. y2＝2x C. y2＝x D. y2＝3x 二、多项选择题 5. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M(，)在抛物线C上，若MF＝4，则下列结论中正确的是(　　) A. ＝3 B.＝2 C. OM＝ D. 点F的坐标为 6. 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于点A，B，且A，AF＝，则下列结论中正确的是(　　) A. a＝± B. p＝4 C. BF＝3 D. S△AOB＝ 三、填空题 7. 若点P(2023，t)在抛物线y2＝4x上，F为该抛物线的焦点，则PF________． 8. 已知抛物线具有如下性质：若抛物线y2＝2px(p>0)的一条过焦点F的弦AB被焦点F分成长为m，n的两部分，则，试运用该性质解决以下问题：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则p＝________，的最小值为________． 四、解答题 9. 设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB中点M的横坐标为2，且AF＋BF＝6.(1) 求抛物线C的标准方程； (2) 若直线l(斜率存在)经过焦点F，求直线l的方程． 10. 如图，已知点A(2，8)，，在抛物线 y2＝2px(p>0)上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合． (1) 写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；(2) 求线段BC中点M的坐标；(3) 求BC所在直线的方程． 参考答案 一、单项选择题 1. 点P为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是AA1，BB1，PP1，则下列结论中正确的是(　　) A. PP1<AB B. PP1＝AB C. PP1>AB D. PP1＝AA1＋BB1 【解析】根据题意PP1是梯形AA1B1B的中位线，故PP1＝(AA1＋BB1)＝(AF＋BF)＝AB. 故选B. 2. 已知P是抛物线y2＝4x上的一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是(　　) A. B. C. 2 D. －1 【解析】由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为PF－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋PF－1.易知d＋PF的最小值为点F到直线l的距离，即，所以d＋PF－1的最小值为－1. 故选D. 3. 已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F且倾斜角为30°的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在点B的右侧)，则等于(　　) A. 9 B. C. D. 3 【解析】 因为抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0，1)，所以直线l方程为y－1＝.设，，由题知<0，>0，>，联立得3y2－10y＋3＝0，解得，.利用抛物线定义知. 故选D. 4. 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l，交抛物线于点A，B，交其准线于点C.若BC＝BF，且AF＝＋1，则此抛物线的方程为(　　) A. y2＝x B. y2＝2x C. y2＝x D. y2＝3x 【解析】如图，过点A作AD垂直于抛物线的准线，垂足为D，过点B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E. 设P为准线与x轴的交点．由抛物线的定义，得BF＝BE，AF＝AD＝＋1.因为BC＝BF，所以BC＝BE，所以∠DCA＝45°，所以AC＝AD＝2＋，CF＝2＋－－1＝1，所以PF＝＝，即p＝PF＝，所以抛物线的方程为y2＝x. 故选A. 二、多项选择题 5. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M(，)在抛物线C上，若MF＝4，则下列结论中正确的是(　　) A. ＝3 B.＝2 C. OM＝ D. 点F的坐标为 【解析】由抛物线C：y2＝4x的焦点为F，可