广东省广州市中山大学附属中学2024届高三上学期期中数学试题

中大附中2023学年第一学期期中质量检测 高三年级数学科试卷 考生注意事项： 1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用黑色钢笔、签字笔在答题卡上作答； 2．质量监测时间120分钟，全卷满分150分． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 已知a，，，若，则的虚部是（ ） A. 2 B. -2 C. -2i D. 2i 2. 的内角的对边分别为，已知，则（ ） A. 6 B. C. 8 D. 3. 公比不为1的等比数列满足，若，则的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，是边的中点，是的一个三等分点（），若存在实数和，使得，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为且关于点对称，则φ的值为（ ） A. B. C. D. 8. 给定函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B C. 若向量是非零向量，则与方向相同 D. 向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使 10. 已知向量，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象可以由的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位得到 11. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前100项和为 D. 的前20项和为284 12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A 函数有极小值 B. 函数在处切线的斜率为4 C. 当时，恰有三个实根 D. 若时，，则的最小值为2 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知等差数列满足，则公差_____. 14. 已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量的坐标为__________. 15. 已知，则________． 16. 已知函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_______. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知中，角所对的边分别为，且. （1）求的值. （2）若的面积，且，求的外接圆半径. 18. 已知数列满足：. （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 19. 如图，五面体中，平面为直角梯形， . （1）若为的中点，求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 20. 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，规定成绩为80分及以上者晋级成功，否则晋级失败． （1）求图中的值； （2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为能否晋级成功与性别有关； 晋级情况性别 晋级成功 晋级失败 总计 男 16 女 50 总计 （3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 21. 已知函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上最大值； (3)求证：存在唯一的，使得. 22. 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与交于两点，与交于两点，且与同向. （i）当直线绕点旋转时，判断的形状； （ii）若，求直线的斜率. 中大附中2023学年第一学期期中质量检测 高三年级数学科试卷 考生注意事项： 1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用黑色钢笔、签字笔在答题卡上作答； 2．质量监测时间120分钟，全卷满分150分． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案