广东省广雅中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

2023学年上学期高二年级期中考试 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用120分钟. 注意事项： 1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域内. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 集合，，则（ ） A B. C. D. 2 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. ，若，则正数的值是（ ） A. B. C. D. 1 5. 在四面体中，棱两两垂直，且为的重心，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角的对边分别为，若，且，则（ ） A B. C. D. 7. 函数在其定义域上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．） 9. 下面结论正确的是（ ） A. 若，则事件与是互为对立事件 B. 若，则事件与是相互独立事件 C. 命题“”的否定是“，使得” D. 已知平面的法向量为，直线的方向向量为，那么“”是“直线与平面夹角为”的充分不必要条件 10. 下列说法不正确的有（ ） A. 直线的倾斜角越大，斜率越大 B. 过点的直线方程是 C. 经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条 D. 直线在y轴上的截距是3 11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为钝角 D. 在方向上的投影向量为 12. 已知直四棱柱的底面为正方形，为直四棱柱内一点，且，其中，则下列说法正确的有（ ） A. 若，三棱锥的体积为定值 B. 若，直线与所成角的最大值为 C. 若的最小值为 D. 若，存在唯一点使得平面平面 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 直线过定点，则点到直线的距离是_________． 14. 一个圆锥的母线与轴的夹角为，则该圆锥侧面展开图的圆心角的大小为_________． 15. 已知实数满足，则的最大值是_________． 16. 函数是定义在实数集上的奇函数，则实数_________；对于任意，关于的不等式在上有解；则实数的取值范围为_________． 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 菱形ABCD中，A（-4，7），C（2，-3），BC边所直线过点P（3，-1）．求： （1）AD边所在直线的方程； （2）对角线BD所在直线的方程． 18. 设函数 （1）若把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调增区间； （2）求方程在区间上的解． 19. 根据空气质量指数（AQI）的不同，可将空气质量分级如下表： AQI 级别 一级 二级 三级 四级 五级（A） 五级（B） 现对某城市天的空气质量进行监测，获得个AQI数据，统计绘得频率分布直方图如图所示． （1）请由频率分布直方图来估计这天AQI的中位数（结果精确到小数点后一位数）. （2）假如企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：万元）与AQI（记为）的关系式为．若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天的经济损失不超过5万元的概率． （3）若有甲，乙，丙3个调查员进行数据复查，三人之间互不干扰影响，他们每人从获得的“一级”和“五级（B）”的数据中随机选取1个数据，求“至少两人抽到一级数据”的概率． 20. 在等腰梯形中，为的中点，线段与交于点（如图）．将沿折起到位置，使得平面平面（如图）． （1）求证：； （2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21. 如图，在平面四边形中，点与点分别在的两侧，对角线与交于点，. （1）若中三个内角、、分别对应的边长为、、，的面积，，求和； （2）若，且，设，求对角线的最大值和此时的值. 22 已知函数 （1）直