重庆市第八中学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题

重庆八中2023—2024学年度（上）半期考试高二年级 数学试题 命题：刘洪涛 李园 审核：熊翼 打印：李园 校对：刘洪涛 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i虚数单位，若复数z满足：，则（ ） A. B. 1 C. i D. 0 2. 若椭圆的离心率为，则（ ） A. 3或 B. C. 3或 D. 或 3. “直线与圆相切”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 已知D，E分别为的边BC，AC的中点，且，，则为（ ） A. B. C. D. 5. 若曲线C上存在点M，使M到平面内两点距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为4cm，高为8cm（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷却塔的最小直径为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 7. 已知点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，点P在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 点分别为椭圆的左、右焦点，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，，的面积为，e为椭圆的离心率，则为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 若三条不同的直线能围成一个三角形，则m的取值不可能为（ ） A. B. C. D. 1 10. 椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于P，Q两点，且点Q在第四象限，若，则（ ） A. 为等腰直角三角形 B. C的离心率等于 C. 的面积等于 D. 直线l的斜率为 11. 如图，已知E，F分别是正方体的棱BC和CD的中点，则（ ） A. 与是异面直线 B. 与EF所成角的大小为 C. 与平面所成角正弦值为 D. 二面角的余弦值为 12. 已知抛物线的焦点坐标，圆，直线与C交于A，B两点，与E交于M，N两点（A，M在第一象限），O为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分． 13. 已知向量夹角为，且，，则______． 14. 直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是______． 15. 过抛物线上点且与圆有且只有一个公共点的直线有______条． 16. 贵州榕江“村超”火爆全网，引起旅游爱好者、社会名流等的广泛关注．足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗蹴鞠的场景．已知某“鞠”的表面上有四个点A、B、C、D，连接这四点构成三棱锥A-BCD如图所示，顶点A在底面的射影落在内，它的体积为，其中和都是边长为2的正三角形，则该“鞠”的表面积为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB，CD为底面圆的两条直径，，且，P为母线SB上一点，． （1）求证：平面PCD； （2）求圆锥SO的体积． 18. 已知过抛物线的焦点，斜率为1的直线交抛物线于..，且． （1）求该抛物线的方程； （2）在抛物线C上求一点D，使得点D到直线的距离最短． 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边BC上，且点D是靠近C的三等分点，． （1）若，的面积为1，求b； （2）求的值． 20. 如图1，四边形ABCD是梯形，，，点M在AB上，，将沿DM折起至，如图2，点N在线段上． （1）若，求证：平面平面； （2）若，平面DNM与平面CDM夹角的正弦值为，求值． 21. 椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围． 22. 已知双曲线渐近线为，左焦点为F，左顶点M到双曲线E的渐近线的距离为1，过原点的直线与双曲线E的左、右支分别交于点C、B，直线FB与双曲线E的左支交于点A，直线FC与双曲线E的右支交于点D． （1）求双曲线E方程； （2）求证：直线AD过定点． 重庆八中2023—2024学年度（上）半期考试高二年级 数学试题 命题：刘洪