三角形解的个数问题 讲义——2024届高三数学一轮复习

三角形解的个数问题 广南一中 自耐勇 初中，我们就学习过，判断两个三角形全等的方法有: （1）定义法：两个完全重合的三角形全等； （2）SSS：三个对应边相等的三角形全等； （3）SAS：两边及其夹角对应相等的三角形全等； （4）ASA：两角及其夹边对应相等的三角形全等； （5）AAS：两角及其中一角的对边对应相等的三角形全等； （6）HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； 在高中，我们会遇到这样一类题目，即求三角形解的个数，两个三角形全等可理解成三角形唯一确定，即有唯一解，进而可得出判断三角形解的个数的方法有： （1）已知三边，三角形唯一确定； （2）已知两边及其夹角，三角形唯一确定； （3）已知两角及一边，三角形唯一确定； （4）已知三个角，三角形无法确定（相似），一般不研究这种情况； （5）已知两边及其一边对角，三角形可能无解、唯一解、两解。 典例1 在中，已知（锐角）,讨论三角形解的个数？ Case1：当B点在OC上，此时，此时不能构成三角形，故无解； Case2：当B点在O点处，此时，此时能构成直角三角形，且唯一； Case3：当B在OA或OF上运动时，此时，此时三角形有两解，且为钝角三角形。 Case4:当B在A点左边，或者F点右边时，此时，三角形有一解，且三角形为钝角三角形。 归纳小结：在中，已知（锐角），满足： 关系式 解的个数 无解 一解 两解 一解 典例2 （核按钮P126页变式1（2）） 在 中，已知角 , , 的对边分别为 , , ，且 ， ， ，若 有两解，则 的取值范围是 . 解：由正弦定理得 ， 若 有两解,则 . 故填 . 针对训练 1．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则此三角形解的情况为（ ） A．无解 B．只有一解 C．有两解 D．解的个数不确定 2．在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，使得三角形有两解的条件是（ ） A． B． C． D． 4．在中，a，b分别为内角A，B所对的边，b＝5，B＝30°，若有两解，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．在中，，则（ ） A． B．或 C． D． 6．在中，，若三角形有两解，则x的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．△ABC中，若b=6，c=10，B=30°，则解此三角形的结果为（ ） A．无解 B．有一解 C．有两解 D．一解或两解 9．在中，，，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 10．在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 参考解析 1． 解：因为，，，所以由正弦定理可得，，所以或，当时，，满足题意； 当时，，不能构成三角形，舍去. 综上，，即三角形的解只有一个. 2．解：如图，作于，，．若有两解，则，故选：C． 3． 解：由正弦定理得： ， ∵，∴，要使三角形有两解，得到，且， 即，∴，解得：. 故选：B． 4．解： 因为有两解，所以 ，故选：B. 5．解：由正弦定理可得，， ，或. 故选：B. 6． 解：三角形有两解．由正弦定理得，即，解得．故选：C． 7．解：A：已知两角和一边，三角形确定，只有一解；B：已知两边及夹角用余弦定理，只有一解；C：已知两边及一边对角，但已知的是大边所对的角，小边所对角只能是锐角，不可能有两解；D：，有两解． 故选：D. 8．解：试题分析：直接利用正弦定理求出角C的大小，即可判断三角形解的个数．在△ABC中，若b=6，c=10，B=30°，由正弦定理 所以60°＜C＜120°，C有两个解，一个锐角，一个钝角；所以三角形有两个解， 故选C． 9．解：∵，∴，由正弦定理得，∴，∴的取值范围为. 故选：D. 10．解：根据正弦定理：，则，故， ，三角形有两解，则，即. 故选：A. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$