湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考(三)数学试题

大联考长郡中学2024届高三月考试卷（三） 数学 命题人：彭泽华 审题人：廖喜全 得分_____________ 本试卷共8页．时量120分钟．满分150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为 A. B. C. D. 3. 函数的最大值与最小值之差为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 设正实数、、满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在唯一的整数，使，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式共有项 B. 对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若一个样本点为，则实数的值是 C. 已知随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知，若，则 10. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，，，点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点，则（ ） A. B. C. 的坐标为 D. 的坐标为 11. 已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两个不同的点，则（ ） A. 的准线为 B. 直线与相交 C. D. 12. 如图，已知正三棱台上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，则（ ） A. CP长度的最小值为 B. 存在点P，使得 C. 存点P，存在点，使得 D. 所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，则_____________． 14. 将8块完全相同的巧克力分配给A，B，C，D四人，每人至少分到1块且最多分到3块，则不同的分配方案共有______种（用数字作答）. 15. 已知和是两个等差数列，且是常值，若，则的通项公式为_____________． 16. 已知、是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与的一条渐近线切于点，过的直线与交于、两个不同的点，若的离心率，则下列结论中正确的序号有_____________． ①； ②的最小值为； ③若，则； ④若、同在的左支上，则直线的斜率． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记为的前n项和，求. 18. 设函数． （1）若函数的图象与直线（为常数）相邻两个交点的横坐标为，，求函数的解析式，并写出函数的单调递增区间； （2）在中，内角所对的边分别为，当时，满足，且，求的最大值． 19 如图，多面体中，平面， （1）在线段上否存在一点，使得平面？如果存在，请指出点位置并证明；如果不存在，请说明理由； （2）当三棱锥的体积为8时，求平面与平面AFC夹角的余弦值. 20. 亚运会将在2022年9月10日至25日在浙江省杭州举办，为此，浙江省开展了青少年亚运会知识问答竞赛，参赛人员所得分数的分组区间为，，，，由此得到总体的频率统计表： 分数区间 频率 0.1 0.4 03 0.2 （1）若从总体中利用分层抽样的方式随机抽取10名学生进行进一步调研.从这10名参赛学生中依次抽取3名进行调查分析，求在第一次抽出1名学生分数在区间内的条件下，后两次抽出的2名学生分数在的概率； （2）视样本的频率为概率，在该市所有参赛学生中任取3人，记取出的3人中分数在的人数为，求的分布列和数学期望. 21. 对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆（），它的离心率是其