必要性探路法 讲义——2024届高三数学二轮微专题

必要性探路法 必要性探路法是求解带参数的恒成立问题的重要法宝.我们在解决问题时，先从满足题意的自变量范围中选择一个数，代入求得一个参数范围，此时这个范围是题意的必要条件.之后再设法证明该必要条件是题意的充分条件，或者讨论别的点.若充分性成立，则该范围就是题目所求范围.这种方法是逻辑条件的充分运用，因为先得到必要条件，故称为必要性探路法. 在解题时，大致可分为两步：找必要条件、证明充分性.一般来说，必要性探路法可以解决以下五类问题，下面分类进行解读. 1、 普通的恒成立问题 在解决普通恒成立问题时，使用必要性探路法要注意寻找必要条件，常见的选取技巧包括选取端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见常数（0、1、e、） 例1、 f(x)=+ax2 （1） a=1时，求函数的单调性； （2） （2）f(x)在定义域内恒成立，求a范围. 解：（1）f(x)=x2 '(x)=31 = 0<x<1，'(x)<0，f(x)单调递减； x>1，'(x)>0，f(x)单调递增； 综上所述，f(x)在(0，1)上单调递减；在(1，+)上单调递增. （3） “f(1)”是“f(x)”的必要条件 解f(1)得：a1 下面证明充分性： 由（1）知，a=1时，f(x)的最小值为f(1)=0 所以有不等式x2 所以f(x)=+ax2x2 充分性成立 所以a[1，+) 注：关键在于选取了a=1时f(x)的极小值点1 例2、 f(x)=a(x) (1) 讨论函数的单调性； (2) （2）g(x)=(+2x1)+a，对于任意x，都有f(x)+g(x)，求a范围. 解：（1）'(x)=a()，其中 所以：a>0时，f(x)单调递增；a<0时，f(x)单调递减. (2)令h(x)=f(x)+g(x)=(+2x1)+a(1) 则“h(0)”是“h(x)”必要条件 解得a1 下面证明充分性： 令x)=(+2x1)+(1) x)=(+x+1)10 所以x)单调递增，x)0)=0 当x，h(x)x)0 充分性成立 所以a1 注：第一问中，x在x=0处取等，所以通过x=0得到必要条件. 2、 端点效应 有一类恒成立问题有如下特征：函数在给定区间端点处取值为0，且题设有时候可转化为f(x)与0比较的形式，此时可将不等号一侧的值看作函数在端点处取值，利用单调性即可解决. 例3、 f(x)=axa+ （1） 讨论函数的单调性 （2） x（1，+）时，y=f(x)与y=a(1)总是前者小于后者，求a的范围. 解：（1）'(x)=+a 若a，'(x)>0恒成立，f(x)单调递增； 若a，0<a<时，'(x)>0，f(x)单调递增；a时，'(x)<0，f(x)单调递减 （2）由题意得：axa+<a(1) 化简得：a(x)<0 令x)=a(x) x)=a(2x1) 因为1)=0，x)<1) 所以“1)”是“x)<0”的必要条件 解得a1 下面证明充分性： 由<1知： x)=a(x)<1(x)=<0 所以a1 例4、 f(x)=ax( （1） a=2时，求函数在（1，f(1)）处的切线方程； （2） f(x)在[1，+）上单调递增，求a的取值范围. 解：（1）a=2 f(x)=2x( '(x)=2 '(1)=0 f(1)=2 则切线方程为：y=2 （2）'(x)=2a 因为f(x)在[1，+）上单调递增，所以'(x)在[1，+）上恒成立 又因为'(1)=0，所以'(x)'(1)=0 令x)='(x)，则x)=2 则“1)”是“x)”的必要条件 解得：a0 下面证明充分性： '(x)0 充分性成立 所以a0 从上面两道题我们充分认识到了端点效应在处理恒成立问题时的简便性，那么只要端点值为零的问题都可以运用端点效应吗?当然不是.在一些问题中，可能会出现端点值为零的伪端点效应，我们通过下面这道题来体会. 例5、（2020高考1卷理科）已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 解：(1)当时，，， 由于，故单调递增，注意到，故： 当时，单调递减， 当时，单调递增. (2)误解：设x)=+ax1 且0)=0，x)=+2ax1 又有：0)=0，x)=3x+2a 0)=1+2a 解得：a 下面说明a不是正确答案： 不妨取a来说明 当ax)=x1，x)=3x1，x)=3 所以当x（0，），x)=3<0，x)单调递减 且0)=0，所以x)<0，所以x)单调递减 且0)=0，所以x)<0，所以x)单调递减 x)<0)=0，不成立. 我们把这种情况称为伪端点效应 下面我们把端点效应和伪端点效应作比较，更方便我们判断何时利用端点效应，如下表： 端点效应 伪端点效应 相同点 区间一个端点值为零，另一个趋向于正（负）无穷 区