2024届高考数学一轮复习讲义 排列组合

课题：排列组合 知识点：排列与组合 1．排列的相关概念及排列数公式 （1）排列的定义：从个不同元素中取出 （）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列． （2）排列数的定义：从个不同元素中取出 （）个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示． （3）排列数公式：这里并且 （4）全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，（叫做n的阶乘）．排列数公式写成阶乘的形式为， 规定． 2．组合的相关概念及组合数公式 （1）组合的定义：从个不同元素中取出 （）个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． （2）组合数的定义：从个不同元素中取出 （）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用表示． （3）组合数的计算公式：，由于， 所以． （4）组合数的性质：①；②；③． 3．区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关． 4．解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”． 5．要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果． 【注1】 （1）解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏． （2）对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏． 【注2】 排列应用问题的分类与解法： （1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． （2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法． 【注3】 组合问题常有以下两类题型变化： （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 典型例题 例1高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一､二､三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是（       ） A．72 B．144 C．48 D．36 例2甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（       ）种． A．24 B．96 C．174 D．175 例3 5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，则不同的安排方法共有（       ） A．30种 B．90种 C．120种 D．150种 例4将3本不同的画册和2本相同的图册分给甲、乙、丙三人，要求每人至少1本画册或图册，则不同的分法共有（       ） A．90种 B．93种 C．96种 D．99种 例5随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色供选择，则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（       ） A． B． C． D． 例6汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（       ） A．180 B．192 C．300 D．420 例7某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（ ） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 例8甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都