广东省东莞市东莞外国语学校2023-2024学年高三上学期11月月考数学试题

2023-2024莞外高三上学期第二次月考 一、单选题（选对得5分，选错得0分.） 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，，如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（    ） A． B． C． D． 5．某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业年种系列产品年总收入是年的倍，其中种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（    ）    A．年甲系列产品收入比年的多 B．年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多 C．年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的 D．年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍 6．已知展开式中的系数为48，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 7．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则 A． B． C． D． 8．在直三棱柱中，为等腰直角三角形，若三棱柱的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（    ） A．12π B．24π C．48π D．96π 二、多选题（选对得5分，漏选得2分，选错得0分） 9．若，，且，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 10．已知，为不同的直线，，为不同的平面，则下列说法错误的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 11．已知函数是定义域为的偶函数，满足，当时，，则（    ） A．的最小值是，最大值是 B．的周期为 C． D． 12．如图，正方体中，点为棱的中点，点是线段上的动点，，则下列选项正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．三棱锥的体积为 C．过点作平面的垂线，与平面交与点，若，则 D．点到平面的距离是一个常数 三、填空题（做对得5分，做错得0分.） 13．为了了解某水库里大概有多少条鱼，先打捞出了1000条鱼，在鱼身上标记一个不会掉落的印记后放回水库，过一段时间后再次捕捞了200条鱼，发现其中5条鱼有印记．则这个水库里大概有 条鱼. 14．函数的单调递增区间为 . 15．已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为 . 16．已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为 ． 四、解答题 17．正三棱柱中，是的中点，连接，交于点，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面； (3)求直线与平面ABC所成角的正切值 18．流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病.其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播.流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰.儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染.某幼儿园将去年春季该园患流感的小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据： 年龄 2 3 4 5 6 患病人数 21 20 15 14 10 (1)求关于的线性回归方程； (2)计算变量的相关系数（计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强? 附：回归方程中，，相关系数. 19．在中，，，分别上的点且，，将沿折起到的位置，使． (1)求证：； (2)是否在射线上存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 20．已知函数，其中. (1)若在处取得极值，求a的值； (2)当时，讨论的单调性． 21．某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．   (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和80%分位数; (2)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数; (3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得三等奖;全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值． 附：若随机变量服从正态分布，则， 22．已知函数，为的导