2023-2024学年河北省高三数学专项练习：立体几何解答题

2023-2024学年河北省高三数学专项练习：立体几何解答题 目录 一、线面角 1 二、二面角 3 三、体积 9 四、翻折问题 10 五、动点存在性问题 12 知识点归纳 直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为（若只涉及一个平面，则用表示其法向量）并在下面都不考虑线线重合、面面重合及线在面内的情况。 1、平行问题（结合图象，直观感觉） 1）线线平行 2）线面平行 3）面面平行 2、垂直问题（结合图象，直观感觉） 1）线线垂直 2）线面垂直 3）面面垂直3、夹角问题 1）异面直线所成的角（范围： ） 2）线面角（范围：）， 3）二面角（范围：） 4、距离问题 1）点A到点B的距离： 2）点A到线l的距离 在直线上任取点 ， ， 3）点A到面的距离 在平面上任取点 4）异面直线间间的距离 在直线上任取点，在直线上任取点 向量与异面直线的方向向量都垂直 5）直线到平面的距离 在直线上任取一点，转化为点A到面的距离 6）平面到平面的距离在平面上任取一点，转化为点A到面的距离 1、 线面角 直线与平面所成的角： 在斜线上找到任意一点，过该点向平面作垂线，找到斜线在该平面上的射影，则斜线和射影所成的角便是直线与平面所成的角；也可利用空间向量，直线与平面所成角 (为平面的法向量). 1．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）如图，在四棱锥中，点在平面上的投影为线段的中点，且，，分别是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 2．（2023·河北石家庄·统考三模）如图，在中，，为的中点，将绕所在的直线逆时针旋转至形成如图所示的几何体，. (1)求几何体的体积； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 3．（2023·河北唐山·统考一模）如图，在三棱柱中，侧面和侧面均为正方形，为棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角为30°，求平面与平面夹角的余弦值． 4．（2023·河北沧州·校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.在同一平面内，且.    (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值. 二、二面角 方法一：常见的方法有三垂线定理法和垂面法； 方法二：向量法：夹角公式 设a＝，b＝，则 cos〈a，b〉=. 推论 ，此即三维柯西不等式. （，为平面， 的法向量）. 5．（2023·河北邯郸·统考二模）四棱锥中，，平面，，为的中点，且. (1)求证：平面. (2)求二面角的余弦值. 6．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）如图所示，四点共面，其中，，点在平面的同侧，且平面，平面. (1)若直线平面，求证：平面； (2)若，，平面平面，求锐二面角的余弦值. 7．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面为中点，与交于点的重心为. (1)求证：平面 (2)若，求二面角的正弦值. 8．（2023·河北张家口·统考一模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，为棱的中点，是棱上一点，且． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值． 9．（2023·河北·校联考一模）如图，在三棱锥中，平面平面，若为等边三角形，为等腰直角三角形，且，点E为的中点，点D在线段上，且.    (1)证明：⊥平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 10．（2023·河北张家口·张家口市宣化第一中学校考三模）如图，已知在四棱锥中，为中点，平面平面，，，，．    （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 11．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）四棱锥中，面，，底面ABCD中，，，. (1)若点在线段BC上，试确定的位置，使面面ABCD，并给出证明； (2)求二面角A-EB-C的余弦值. 12．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）如图，在三棱柱中，是等边三角形，侧面底面，且，，M是的中点．    (1)证明：． (2)求二面角的正弦值． 13．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，侧面ABED与ACFD均为梯形，AB∥DE，AC∥DF，AB⊥BE，且平面ABED⊥平面ABC，AC⊥DE．已知AB＝BE＝AC＝1，DE＝DF＝2． (1)证明：平面ABED⊥平面ACFD； (2)求平面BEFC与平面FCAD的夹角的大小． 14．（2023·河北邯郸·统考三模）如图，三棱锥的体积为，为中点，且的面积为，，，． (1)求顶点到底面的距离； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 15．（2023