2023-2024学年河北省高三数学专项练习：导数综合问题常考题型

2023-2024学年河北省高三数学专项练习：导数综合问题常考题型 目录 一、双变量构造函数 1 二、利用导数证明不等式 2 三、利用函数进行放缩证明不等式 3 四、参变分离处理不等式 4 五、零点问题 4 六、不等式恒成立问题 6 1、 双变量构造函数 (1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 1．（2023·河北张家口·统考三模）已知函数为函数的导函数． (1)讨论函数的单调性； (2)已知函数，存在，证明：． 2．（2023·河北张家口·统考一模）已知函数在区间上有两个极值点，． (1)求实数a的取值范围； (2)证明：． 3．（2023·河北张家口·统考二模）已知函数. (1)若函数为其定义域上的单调函数，求实数的取值范围； (2)若函数的极值点为，求证：. 4．（2023·河北·校联考一模）已知函数. (1)若，求的极值； (2)若函数有两个零点，，且，求证：. 2、 利用导数证明不等式 利用导数证明不等式的基本步骤： (1)作差或变形． (2)构造新的函数h(x)． (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值． (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 5．（2023·河北唐山·统考二模）已知函数 (1)求的极值； (2)若，，，，证明： 6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)已知函数，若曲线与过点且斜率为m的直线l相切，求证： 7．（2023·河北邯郸·统考三模）已知函数． (1)若在单调递增，求实数m取值范围； (2)若有两个极值点，且，证明：． 8．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知函数． (1)若在R上是增函数，求a的取值范围； (2)若当时，有两个极值点m，n，证明：． 三、利用函数进行放缩证明不等式 9．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）已知函数． (1)求函数的极值； (2)求证：． 10．（2023·河北沧州·校考三模）已知函数，. (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)证明：对任意的，，为自然对数的底数. 11．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）已知为正实数，函数. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)求证：（）. 3、 参变分离处理不等式 含参不等式恒成立求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求导确定函数的单调性得到最值，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 12．（2023·河北保定·统考二模）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程． (2)若的图象恒在轴上方，求实数的取值范围． 4、 零点问题 隐零点的处理思路： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 13．（2023·河北·校联考三模）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若为函数的导函数，有两个零点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 14．（2023·河北邯郸·统考二模）已知函数. (1)若单调递减，求的取值范围； (2)若的两个零点分别为，，且，证明：. （参考数据：） 15．（2023·河北·校联考二模）已知函数 (1)若是的一个极值点，求的最小值； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 16．（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）已知函数. (1)当时，求的极小值. (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 17．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）已知函数，其中常数，是自然对数的底数． (1)若，求的最小值； (2)若函数恰有一个零点，求a的值． 18．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知函数，，其中. (1)分别求函数和的极值； (2)讨论函数的零点个数. 5、 不等式恒成立问题 恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 19．（2023·河北·校联考一模）已知