精品解析：北京市第一六六中学2024届高三上学期期中考试数学试题

北京市第一六六中学2023-2024学年度第一学期期中考试 高三年级数学学科 （考试时长：120分钟） 考查目标 知识：集合与简易逻辑；不等式；函数与导数；三角函数与解三角形；立体几何；平面解析几何；排列组合与二项式定理；概率统计 能力：数学抽象概括；逻辑推理论证；数学建模应用；直观想想；数学运算；数据分析；空间想象能力 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合或， ，则集合（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. “”是“”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图像关于直线对称，则可以为（ ） A B. C. D. 1 7. 关于函数,下列说法错误的是 A. 是奇函数 B. 不是的极值点 C. 在上有且仅有3个零点 D. 的值域是 8. 二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（ ）（参考数据：） A. 万年 B. 117万年 C. 万年 D. 205万年 9. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点，且点的纵坐标为，则____________． 12. 在的二项展开式中，第四项为____________． 13. 已知函数. ①若，则___________； ②若，使成立，则的最小值是___________. 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为____________ 15. 某班在一次考试后分析学生在语文､数学､英语三个学科的表现，绘制了各科年级排名的散点图（如下图所示）． 关于该班级学生这三个学科本次考试的情况，给出下列四个结论： ①三科中，数学年级排名的平均数及方差均最小； ②语文、数学、英语年级排名均在150名以外的学生为1人； ③本次考试该班语文第一名、数学第一名、英语第一名可能为三名不同的同学； ④从该班学生中随机抽取1人，若其语文排名大于200，则其英语和数学排名均在150以内的概率为． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 如图1所示，在等腰梯形，，垂足为，将沿折起到的位置，使平面平面，如图2所示，点为棱上一个动点． （1）当点为棱中点时，求证：平面 （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在中，． （1）求； （2）再从条件①､条件②､条件③这三组条件中选择一组作为已知，使存在且唯一确定，求的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建党100周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表. 成绩分组 频数 2 6 16 14 2 高二 规定成绩不低于90分“优秀”. （1）估计高一年级知识竞赛优秀率： （2）将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率.在高一、高二年级学生中各选出2名学生，记这4名学