北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

2023-2024学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．已知集合A＝{﹣1，0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（　　） A．{﹣1} B．{0} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1} 2．命题∀x∈（﹣1，0），x2+x＜0的否定是（　　） A．∀x∈（﹣1，0），x2+x＞0 B．∀x∈（﹣1，0），x2+x≤0 C．∃x∈（﹣1，0），x2+x＞0 D．∃x∈（﹣1，0），x2+x≥0 3．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（　　） A．y＝﹣|x| B．y＝x2 C．y＝x3 D． 4．已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x3+，则f（﹣1）+f（0）＝（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 5．已知a＞b＞c，a+b+c＝0，则下列结论一定正确的是（　　） A．a+c＞0 B．a+b＜0 C．ab＞0 D．ac＜0 6．函数f（x）＝x2﹣2x，x∈[﹣2，2]的值域是（　　） A．[﹣1，0] B．[0，8] C．[1，8] D．[﹣1，8] 7．已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 8．若函数f（x）＝﹣x2+2ax与函数在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（　　） A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（0，1] C．（0，1） D．（0，1] 9．对∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，我们把f（x）＝[x]，x∈R 称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（　　） A．∃x∈R，[4x]＝4[x]+2 B．∀x∈R， C．∀x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y] D．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则|x﹣y|＜1 10．已知集合M＝{x∈N|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足： ①每个集合都恰有5个元素； ②A1∪A2∪A3＝M．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为（　　） A．56 B．72 C．87 D．96 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．函数的定义域是 　 　． 12．已知二次函数f（x）同时具有以下性质： ①f（x）有2个零点； ②f（x）在（0，+∞）上是增函数． 写出符合上述条件的一个函数f（x），其解析式为f（x）＝　 　． 13．已知函数（t＞0）． ①当t＝1时，f（x）的值域为 　 　； ②若f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，则t的取值范围是 　 　． 14．有50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加一项．已知参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生有　 　人． 15．已知函数f（x）＝x2﹣|x+a|，下列命题中： ①∀a∈R，f（x）都不是R上的单调函数； ②∃a∈R，使得f（x）是R上偶函数； ③若f（x）的最小值是，则a＝﹣1； ④∃a＜0，使得f（x）有三个零点． 则所有正确的命题的序号是 　 　． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．求下列关于x的不等式的解集． （1）x2﹣3x﹣10＞0； （2）+1≤0； （3）x2+2x+a（2﹣a）＜0． 17．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x|＜a}． （1）当a＝2时，分别求A∪B，A∩∁RB； （2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 18．关于x的方程k2x2+2（k+1）x+1＝0（k≠0）有两个不等实根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）当k＝1时，求+的值； （3）若，求实数k的值． 19．某公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1＝18﹣，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2＝（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中且均有投，其中x万元资金投入A产品． （1）请把A，B两种产品利润总和y表示为x的函数，并直接写出定义域； （2）在（1）的条件下，当x取何值时才能使公司获得最大利润？ 20．已知二次函数f（x）最小值为﹣9，且﹣1是其一个零点，∀x∈R都有f（2﹣x）＝f（2+x）． （1）求f（x）的解析式； （2）求f（x）在区间[﹣1，a]上的最小值； （3）是否存在实数a满足：对∀x∈[﹣1，a]，都有f（x）≥a﹣11恒成立？若