精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2023-2024学年高三上学期10月期中数学试题

牡丹江二中2023-2024学年度第一学期高三第三次阶段性考试 数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与逻辑、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量、复数、随机变量及其分布、统计分析． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（ ） A. 1 B. C. i D. 3. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A B. C. D. 4. 在等腰梯形中，，，为的中点，则（ ） A. B. C D. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 等比数列{}的首项为，公比为q，前n项和为，则“”是“{}是递增数列”的（ ） A 充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，则（ ） A. －1 B. C. D. 8. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 在回归分析中，相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强 B. 线性回归直线恒过样本中心 C. 在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D. 对分类变量与，它们的随机变量的观测值越小，说明“与有关系”的把握越大 10. 设函数，且，则下列关系式不成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回原袋，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回原袋，依次类推，第次从与第次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回去.记第次取出的球是红球的概率为，数列前项和记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当无限增大，将趋近于 D. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 在中，已知，，则的外接圆直径为______． 14. 若，且，则最大值为________. 15. 若奇函数，则实数_________． 16. 某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%） 参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知函数． （Ⅰ）求的单调递增区间和最值； （Ⅱ）若函数在有且仅有两个零点，求实数a的取值范围． 18. 在中，三边所对的角分别为，已知． （1）若，求； （2）若边上的中线长为，求的长． 19. 已知数列为等差数列，其前n项和为，且，，数列. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 20. 某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别是否有关，随机抽取70名学生，得到如下的列联表： 倾向“坐标系与参数方程” 倾向“不等式选讲” 男生 15 25 女生 20 10 附：． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）根据表中提供的数据，判断是否有以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”与性别有关？ （2）在倾向“坐标系与参数方程”的学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选3人参与问卷调查，记3人中男生人数为，求的分布列及数学期望． 21. 数列满足，. （1）证明：； （2）若数列满