立体几何体的截面问题讲义-2024届高三数学一轮复习

信心+努力+方法+毅力=成功 专题：立体几何体中的截面问题 【知识梳理】 1、 作截面的方法： 1、作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面 2.作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 3、作截面的几种方法： （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 二、正方体中的基本截面类型： 三、几何中的截面问题的几种类型： 1、作截面：（1）三个点在棱上；（2）两个点在棱上，一个点在面上。 2、补全截面再判断位置关系； 3、确定截面形状； 4、计算截面的周长、面积等； 5、截面分体积； 6、截面的最值与范围。 【对点训练】 题型一、作截面： 1． 如图①，正方体的棱长为，为线段的中点，为线段上的动点，过点、、的平面截该正方体所得的截面记为，若，请在图中作出截面（保留尺规作图痕迹）；    2． 已知G是底面ABCD上一点，E,F为棱上的点，作出过EFG三点的截面 题型二、确定截面形状： 1.（2023秋·陕西西安·高三西安市铁一中学校考期末）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 2.（2023·重庆巴蜀中学高三校考（多选））已知截面定义：用一个平面去截一个几何体，得到的平面图形（包含图形内部）称为这个几何体的一个截面.则下列关于正方体截面的说法，正确的是（    ） A．截面图形可以是七边形 B．若正方体的截面为三角形，则只能为锐角三角形 C．当截面是五边形时，截面可以是正五边形 D．当截面是梯形时，截面不可能为直角梯形 3． 2024届雅礼中学月考（二）如图所示，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，上的动点（包含端点），当，分别为棱，的中点时，则过，，三点作正方体的截面，所得截面为______边形 4． 如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（    ） A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形 C．当时，为六边形 D．当时，的面积为 题型三、截面的周长与面积： 1.如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点G是棱中点，则过线段AG且平行于平面的截面的面积为________． 2.如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________. 3.如图，在棱长为4的正方体中，，分别为棱，的中点，过，，三点作正方体的截面，则以点为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为　　 A． B．8 C． D． 4.(2024届·长沙雅礼校考)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则平面截此正方体所得截面面积的最大值为 . 5.如图所示，在长方中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点F，则四棱锥的体积为___________，截面四边形的周长的最小值为___________. 6、（2023·四川成都·校联考模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 7、如图,圆锥的底面直径,母线,点是母线上的一个动点(不与点重合),现过点作圆锥的一个椭圆截面,则椭圆截面周长的最小值为__________.        题型四、截面分体积问题 1.如图，正方体，中，E､F分别是棱AB､BC的中点，过点､E､F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，记，则 . 2.在正四棱锥中，为的中点，过作截面将该四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，则的最大值是 . 3.（2023·安徽蚌埠·统考一模）如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为（    ） A． B． C．