3.1.3 函数的奇偶性（1） 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

函数的奇偶性（1） 高三年级数学学科 1 1 知识回顾 2 概念生成 3 问题探究 4 总结归纳 CONTENTS 目 录 2 知识回顾 01 了解知识的生成与发展 3 知识回顾 初中我们所熟悉的轴对称图形和中心对称图形 4 知识回顾 初中我们所熟悉具有对称性的函数图像 5 知识回顾 如何通过代数的形式来表达对称关系呢？（平面直角坐标系） 6 7 概念生成 8 概念生成： 图像 请举出一个函数是偶函数的例子 9 概念生成 10 概念生成 11 概念生成 12 概念生成 13 概念生成： 图像 请举出一个函数是偶函数的例子 14 问题探究 03 深入理解概念的数理内涵 15 问题探究 16 问题探究 17 问题探究 18 问题探究 19 总结归纳 04 概念深入思考与延续 20 总结归纳 21 总结归纳 22 总结归纳 23 总结归纳 24 总结归纳 25 初中时我们已经知道，在平面直角坐标系中，点 关于轴的对称点为，关于原点的对称点为. 例如点关于轴的对称点为， 关于原点的对称点为. -4 -3 -2 -1 1 2 3 请同学们思考： 1 表格中数据有什么特点？对应图像具有什么特征？ 2 根据你所观察到的规律，能直接得出时,两个函数对应值吗？ ③如何用数学符号语言来表达你所发现的规律？ 不难发现，上述两个函数，当自变量取互为相反数的 两个值和时，对应函数值相等，即 一般地，设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则称为偶函数. 我们可以得到： 如果一个函数是偶函数，则它的图像是以轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图像是以轴为对称轴的对称图形，则这个函数是偶函数. 思考④如下图所示是函数图像的一部分，已知为偶函数，请将图像大致补充完整. ※偶函数概念理解： ①偶函数定义的自然语言描述是，函数的自变量取互为相反数的两个函数值相等； ②要对任意都成立，即在定义域内恒成立，反映了函数的“整体”性质； ③恒成立也可以是恒成立； ④对于对内的任意一个，都有，说明偶函数的定义域是关于原点对称的.或者说如果一个函数的定义域不是关于原点对称，那么它一定不是偶函数； 例1. 请判断下列哪些函数是偶函数？ ①； ②； ③；④； ⑤； ⑥； ⑦；⑧. 现在请大家再回顾例1中给出的8个函数： ①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧. 对于①③⑦⑧，任意，都有，且，我们说它们是偶函数，其图像关于轴对称. 而对于②④⑤⑥，也满足任意，都有，但是此时有. 一般地，设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则称为奇函数. 同样，我们也可以得到：如果一个函数是奇函数，则它的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ※我们可以得到： 对于形如函数， 若为偶数，则为偶函数； 若为奇数，则为奇函数. 例2. 判断下列函数是否具有奇偶性： ①； ②； ③； ④. 解：①因为函数的定义域为,所以时，. 又因为， 所以函数是奇函数. ②因为函数的定义域为,所以时，. 又因为 所以函数是偶函数. 例2. 判断下列函数是否具有奇偶性： ①； ②； ③； ④. 解：③因为函数的定义域为,所以时，. 又因为，且 所以函数既不是奇函数也不是偶函数. ④因为函数的定义域为，而，但， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数. 例3．已知奇函数的定义域为，且，求证：. 证明：因为为奇函数，且 所以，即， 因此，. 【总结1】函数奇偶性的判定步骤： 步骤1：先看定义域，若定义域不是关于原点对称，则一定是非奇非偶函数； 步骤2：验证任意，是否满足或； 步骤3：根据定义下结论： 若或，则为偶函数， 若或，则为奇函数， 若都不满足则是非奇非偶函数. 【总结2】奇、偶函数相关的性质特征： （1）若是偶函数，则它的图像关于轴对称；反之，如果的图像关于轴对称，则是偶函数；若是奇函数，则它的图像关于原点中心对称；反之，如果的图像关于原点中心对称，则是奇函数. （2）若奇函数的定义域包含0，则； （3）常值函数（为常数）为偶函数，其中即是奇函数又是偶函数，反之若即是奇函数又是偶函数，则； 【总结2】奇、偶函数相关的性质特征： （4）若定义域相同，且同为奇函数（或偶函数），则仍为奇函数（或偶函数），、（）为偶函数； （5）若定义域相同，且为一奇一偶，则奇偶性不确定，、（）为奇函数. 例4. 已知函数为奇函数，求. 解： （或）， . 例5. 定义在上任一函数，，，判断和的奇偶性. 解：因为函数的定义域为,所以时，. ，为偶函数. ，为奇函数 $$