第六章 4.1 样本的数字特征-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

数学·必修·第一册 第六章 统 计 §4　用样本估计总体的数字特征 4．1　样本的数字特征 高效导学第一步 预习教材新知， 落实必备知识 最多 平均数 课堂互动探究， 培优关键能力 高效导学第二步 [课程标准]　1．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义．　2．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义．　3．会计算样本的标准差和方差，了解样本与总体的关系．　4．结合实例，能用样本估计总体的取值规律． 一、平均数、众数、中位数 1．平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)，叫作这n个数的平均数．平均数是指这组数据的平均值． 2．众数：一组数据中出现次数____的数． 3．中位数 (1)定义：一般地，将一组数据按从小到大的顺序排列后，“中间”的那个数据为这组数据的中位数，它使数据被分成的两部分的数据量是一样的． (2)求法：①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间那个数． ②当数据个数为偶数时，中位数为按从小到大顺序排列的最中间的两个数的平均数． 二、方差 (1)公式：s2＝eq \f(（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2,n)，其中，xi(i＝1，2，…，n)是样本数据，n是样本容量，eq \o(x,\s\up6(－))是样本平均数． (2)意义：方差刻画的是数据偏离______的离散程度． 三、标准差 由于方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与原始数据相同的单位．于是，定义方差的算术平方根s＝eq \r(s2)＝eq \r(\f(（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2,n))为标准差． 想一想：标准差、方差的意义是什么？ 提示：标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小． 记一记：1．中位数不受几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响，容易计算．它仅利用了数据中排在中间数据的信息．当样本数据质量比较差，即存在一些错误数据时，应该用抗极端性很强的中位数表示数据的中心值． 2．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息． 3．平均数和方差的常用性质 (1)若x1，x2，x3，…，xn的平均数是eq \o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是meq \o(x,\s\up6(－))＋a． (2)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等． (3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2． 【基点小试】 1．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的一项是(　　) A．中位数可以准确地反映出总体的情况 B．平均数可以准确地反映出总体的情况 C．众数可以准确地反映出总体的情况 D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况 解析：根据平均数、中位数、众数的定义可知平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况． 答案：D 2．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为(　　) A．85分、85分、85分 B．87分、85分、86分 C．87分、85分、85分 D．87分、85分、90分 解析：这个学习小组的数学成绩分别是100，95，90，90，85，85，85，85，80，75，故平均数为eq \f(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75,10)＝87分，众数为85分，中位数为85分．故选C． 答案：C 3．一个样本的容量为60，分成5组，已知第一组、第三组的频数分别是9，10，第二、五组的频率都为eq \f(1,5)，则该样本的中位数在(　　) A．第二组 B．第三组 C．第四组 D．第五组 解析：第二组的频数为60×eq \f(1,5)＝12，∵9＋12＝21<30．5，9＋12＋10＝31>30．5，∴中位数在第三组． 答案：B 4．(2021·新高考全国Ⅰ卷)(多选)有一组样本数据