广东省汕头市潮阳区河溪中学2023-2024学年高二上学期10月期中数学试题

河溪中学2023--2024学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 注意事项：1.学生应把试题的各个题目填写在答题卷的相应位置上，考试结束，只交答题卷。 2.本卷满分150分，答卷时间120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分，在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卷的选择题答案表中） 1.已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2.已知，，则是的（    ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充要也不必要条件 3.已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数（    ） A.1 B. C. D. 4.函数在区间上的最大值为（     ） A. B. C.1 D.2 5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数（即质数）中，随机选取两个不同的数，其和等于20或30的概率是（    ） A. B. C. D. 6.已知，，则在上的投影向量为（   ） A. B. C.1 D. 7.已知直线：，则在轴上的截距为（     ） A. B. C.1 D. 8.若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（     ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请把正确答案的代号填在答题卷的选择题答案表中） 9.从装有大小和形状完全相同的3个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不互为对立的是（      ） A.至少有1个红球与都是红球 B.恰有1个红球与恰有2个红球 C.至少有1个红球与至少有1个白球 D.至多有1个红球与恰有2个红球 10.若不等式的解集为R，则实数a可能的取值是（  ） A. B.0 C.1 D.2 11.已知向量，，，则（      ） A.向量，的夹角为 B.∥ C. D. 12.在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，， 底面ABCD，则（   ）    A. B.PB与平面ABCD所成角为 C.异面直线AB与PC所成角的余弦值为 D.平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为 三、填空题：（本大题共4小题，共20分） 13.已知，则 ．（用含a，b的代数式表示） 14.若向量，，且，则 15.已知在△ABC中，，，，则S△ABC =__________ 16.在空间直角坐标系中，，，则点到直线的距离为 四．解答题：本大题共6小题，满分70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，，． (1)求（5分）；(2)若，求△ABC的外接圆的面积（7分）． 18.（12分）第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值（4分）； (2)估计这100名候选者面试成绩的众数和平均数（3分）； (3)在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率（5分）．    19.（10分）围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 20.（10分）已知直线． (1)若，求的值（6分）；(2)若，求的值（4分）． 21.（12分）如图，已知长方体中，，，连接，过B点作的垂线交于E，交于F． (1)求证：平面；（6分）(2)求