第5章 5.1.2　弧度制-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

5．1．2　弧度制 [课标解读]　1．了解弧度制的概念．2．能进行弧度与角度的互化．3．理解弧度制下弧长与面积公式． 知识点一　度量角的两种制度 角度制 定义 用“度”作为单位来度量角的单位制 1度 的角 1度的角等于周角的，记作1° 弧度制 定义 以“弧度”为单位来度量角的单位制 1弧度 的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角．“弧度”用符号rad表示(rad可省略不写) [点拨]　(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可． (2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值． 知识点二　弧度数 1．弧度数的计算 2．弧度与角度的互化 知识点三　扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR． (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1 rad的角和1 °的角大小相等．(　　) (2)用弧度来表示的角都是正角．(　　) (3)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关．(　　) (4)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝|α|r＝30 cm．(　　) (5)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ 2．与角－的终边相同的角是(　　) A． B． C． D． C　[与角－的终边相同的角的集合为{α|α＝－＋2kπ，k∈Z}，当k＝1时，α＝－＋2π＝，故选C．] 3．将315°化为弧度为(　　) A． B． C． D． D　[315°＝π＝，选D．] 4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为 ，面积为 ． 解析：　因为135°＝＝，所以扇形的半径为＝4， 面积为×3π×4＝6π． 答案：　4　6π 探究点一　角度制与弧度制的互化 把下列各角从角度化成弧度或从弧度化成角度．(不必求近似值) (1)20°；(2)－10°30′；(3)1．2；(4)－． 解析：　(1)20°＝20×＝． (2)－10°30′＝－10．5°＝－×＝－． (3)1．2＝×°＝°． (4)－＝－×180°＝－157°30′． 角度制与弧度制的互化原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°；n°＝n· rad． [提醒]　(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写． (2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．　　 即时练1．将下列角度与弧度进行互化： (1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°． 解析：　(1)π＝×180°＝15 330°． (2)－＝－×180°＝－75°． (3)10°＝10×＝． (4)－855°＝－855×＝－． 探究点二　用弧度制表示终边相同的角 已知角α＝－1 725°． (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． 解析：　(1)∵－1 725°＝－5×360°＋75°， ∴－1 725°＝－10π＋， 又0<<，所以α与终边相同，是第一象限角． (2)与α终边相同的角可以写为 r＝＋2kπ(k∈Z)， 又－5π≤r<0， ∴当k＝－2时，r＝－；当k＝－1时，r＝－． 1．弧度制下与角α终边相同的角的表示 在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． 2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形． (2)写出区域边界作为终边时角的表示． (3)用不等式表示区域范围内的角．　　 即时练2．把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π． 解析：　因为－1 480°＝－＝－10π＋，0≤<2π，所以－1 480°＝－2×5π＝＋2×(－5)π． 即时练3．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合． 解析：　因为30°＝ rad，210°＝ rad， 这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为{θ|kπ＋<θ<kπ＋，k∈Z}． 探究点三　扇形的弧长公式及面积公式 扇形AOB的周长为10 cm． (1)若这个扇形的面积为4 cm2，求扇形圆