5.1.2 弧度制-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“弧度制”，涵盖定义、角度弧度换算、弧长及扇形面积公式，通过折叠扇情境导入，引导学生从角度制过渡到弧度制，以思考提示、表格对比等搭建学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于结合数学抽象与数学运算素养，如“思考”环节探究比值l/r与半径无关培养抽象能力，例题与跟进训练强化换算及公式应用提升运算能力。分层作业设计助力个性化教学，学生可深化理解，教师能高效开展分层指导。

第5章　三角函数 5.1　任意角与弧度制 5.1.2　弧度制 学习任务 核心素养 1．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点) 3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点) 1．通过对弧度制概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助弧度制与角度制的换算，提升数学运算素养． 5.1.2　弧度制 如图是一种折叠扇．折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小．那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？ 必备知识·情境导学探新知 5.1.2　弧度制 知识点1　角度制与弧度制 (1)度量角的两种制度 角度制 定义 用“___”作单位来度量角的单位制 1度的角 1度的角等于周角的______ 弧度制 定义 以“______”为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于_________的弧所对的圆心角 度 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 (2)弧度数的计算 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 思考　比值与所取的圆的半径大小是否有关？ [提示]　一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 (3)角度制与弧度制的换算 ° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 (4)一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 度 0 π 2π 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度的角是周角的． (　　) (2)1弧度的角大于1度的角． (　　) × √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 体验　2．(1) rad化为角度是________； (2)105°的弧度数是________ rad． (1)252°　(2)　[(1) rad＝°＝252°； (2)105°＝105× rad＝ rad．] 252° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 知识点2　扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝________． (2)扇形面积公式：S＝_______＝______________． |α|r |α|r2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 体验　3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝R|α|＝1×30＝30(cm)． (　　) (2)若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长也扩大为原来的2倍． (　　) (3)若扇形的半径和弧长都变为原来的2倍，则扇形的面积变为原来的2倍． (　　) × × √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 体验　4．半径为2，圆心角为的扇形的面积是________． 　[由已知得S扇＝×22＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 关键能力·合作探究释疑难 类型1　角度与弧度的互化与应用 【例1】　【链接教材P160例4、例5】 (1)①将112°30′化为弧度为________． ②将－ rad化为角度为________． (2)已知α＝15°，β＝ rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝ rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小． rad －75° 5.1.2　弧度制 (1)① rad　②－75°　[①因为1°＝ rad， 所以112°30′＝ rad×112.5＝ rad． ②因为1 rad＝°， 所以－ rad＝－°＝－75°．] (2)[解]　法一(化为弧度)： α＝15°＝15× rad＝ rad，θ＝105°＝105× rad＝ rad． 显然＜＜1＜．故α＜β＜γ＜θ＝φ． 法二(化为角度)： β＝ rad＝°＝18°，γ＝1 rad≈57.30°， φ＝°＝105°． 显然，15°＜18°＜57.30°＜105°．故α＜β＜γ＜θ＝φ． 【教材原题·P160例4、例5】 例4　把下列各角从度化为弧度： (1)120°； (2)25°30′． [解]　(1)120°＝120× rad＝ rad； (2)25°30′＝25.5°＝25.5× rad＝ rad． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 例5　把下列各角从弧度化为度： (1) rad； (2)5 rad． [解]　(1) rad＝°＝135°； (2)5 rad＝5×°≈286.5°． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 反思领悟　角度制与弧度制互化的关键与方法 (1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键． (2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×°＝度数． (3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 [跟进训练] 1．(1)将－157°30′化成弧度为________________； (2)将－ rad化为度是________． (1)－π rad　(2)－396°　 [(1)－157°30′＝－157.5°＝－ rad＝－π rad． (2)－ rad＝－°＝－396°．] －π rad －396° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 2．在[0，4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示) π，π　[因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)． 当k＝0时，θ＝72°＝π rad； 当k＝1时，θ＝432°＝π rad， 所以在[0，4π]中与72°角终边相同的角有π，π．] π，π 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 类型2　用弧度数表示角 【例2】　(1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是(　　) A．　　　　 B． C． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 (2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 (1)D　[因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)， 所以角α的终边落在直线y＝x上，所以角α的集合是 ．] (2)[解]　因为30°＝ rad，210°＝ rad， 这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为． 反思领悟　1．弧度制下与角α终边相同的角的表示 在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． 2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形． (2)写出区域边界作为终边时角的表示． (3)用不等式表示区域范围内的角． 提醒：角度制与弧度制不能混用． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 [跟进训练] 3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 C　[A，B中弧度与角度混用，不正确． π＝2π＋，所以π与终边相同．－315°＝－360°＋45°， 所以－315°也与45°终边相同．故选C．] 4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合． [解]　30°＝ rad，150°＝ rad． 终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是 ． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 类型3　弧长公式与扇形面积公式的应用 【例3】　已知扇形的周长为8 cm． (1)若该扇形的圆心角为2 rad，求该扇形的面积； (2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角． 以扇形的面积和弧长公式为切入点，建立面积与变量r或l的关系式，并思考最值的求解方法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 [解]　设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S． (1)由题意得：2r＋l＝8，l＝2r， 解得r＝2，l＝4，S＝lr＝4(cm2)． (2)由2r＋l＝8得l＝8－2r，r∈(0，4)， 则S＝lr＝(8－2r)r＝4r－r2＝－(r－2)2＋4， 当r＝2时，Smax＝4， 此时l＝4，圆心角α＝＝2． 反思领悟　扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 提醒：看清角的度量制，恰当选用公式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 [跟进训练] 5．求半径为1 cm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积． [解]　因为r＝1，α＝120×rad＝rad， 所以l＝|α|r＝ cm，S＝lr＝ cm2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 1．与1°角终边相同的角的集合是(　　) A． B． C． D． 学习效果·课堂评估夯基础 √ C　[角度制与弧度制不能混用，故选C．] 5.1.2　弧度制 2．圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是(　　) A． rad　 B． rad C． rad D． rad √ B　[由弧度数公式|α|＝，得|α|＝＝，因此圆弧所对的圆心角是 rad．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 3．(多选题)下列转化结果正确的是(　　) A．60°化成弧度是 rad B．－π rad化成角度是－600° C．－150°化成弧度是－π rad D． rad化成角度是15° √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 ABD　[对于A，60°＝60× rad＝ rad；对于B，－π rad＝ －×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150× rad＝ －π rad；对于D， rad＝×180°＝15°．故选ABD．] 4．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，0≤α＜2π)的形式，则α＝________． 　[－570°＝－＝－4π＋．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 5．(教材P162习题5.1 T9改编)在直径为20 cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长为________cm． π　[∵150°＝rad， ∴弧长l＝＝π cm．] π 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．角度制与弧度制怎样转化？ [提示]　1°＝ rad，1 rad＝°． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 2．角度制和弧度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？ [提示]　   角度制 弧度制 弧长 l＝ l＝|α|r 面积 S＝ S＝lr＝|α|r2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．(多选题)下列说法中，正确的是(　　) A．半圆所对的圆心角是π rad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 课时分层作业(三十九)　弧度制 √ √ √ 41 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．时针经过一小时，转过了(　　) A． rad　　 B．－ rad C． rad D．－ rad √ B　[转过的角为负角，大小为 rad，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 42 3．(多选题)下列表示中正确的是(　　) A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z} B．终边在y轴上角的集合是 C．终边在坐标轴上角的集合是 D．终边在直线y＝x上角的集合是 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 43 ABC　[对于A，终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}，故A正确； 对于B，终边在y轴上的角的集合是，故B正确； 对于C，终边在x轴上的角的集合为，终边在y轴上的角的集合为， 故合在一起即为＝，故C正确；对于D，终边在直线y＝x上的角的集合是，故D错误．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 44 4．若θ＝－5，则角θ的终边所在的象限是(　　) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[因为－2π＜－5＜－，所以α是第一象限角．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 45 5．已知扇形的弧长是4 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　) A．1 B．2 C．4 D．1或4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[因为扇形的弧长为4，面积为2， 所以扇形的面积为×4×r＝2，解得r＝1， 则扇形的圆心角的弧度数为＝4．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 46 二、填空题 6．－135°化为弧度为__________，化为角度为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －rad　660°　[－135°＝－135×rad＝－rad；＝×180°＝660°．] －rad 660° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 47 7．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　48　[α＝＝＝， S＝l·r＝×12×8＝48．] 48 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 48 8．若α为三角形的一个内角，且α与－的终边相同，则α＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[因为－＝－4π＋， 所以与－终边相同的角为＋2kπ，k∈Z． 又α∈(0，π)，故α＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 49 三、解答题 9．已知角α＝2 010°． (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋， 又π＜＜，∴α与终边相同，是第三象限的角． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 50 (2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)， 又－5π≤γ＜0， ∴当k＝－3时，γ＝－π； 当k＝－2时，γ＝－π； 当k＝－1时，γ＝－π． ∴在区间[－5π，0)上与α终边相同的角为－π，－π，－π． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 51 10．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10． (1)求弦AB所对的圆心角α的大小； (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)由⊙O的半径r＝10＝AB， 知△AOB是等边三角形， ∴α＝∠AOB＝60°＝ rad． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 52 (2)由(1)可知α＝ rad，r＝10， ∴弧长l＝α·r＝×10＝， ∴S扇形＝lr＝×10＝， 而S△AOB＝·AB·5＝×10×5＝25， ∴S＝S扇形－S△AOB＝25． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 53 11．(多选题)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为(　　) A． C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 54 AD　[设该弦所对的圆周角为α， 则其圆心角为2α或2π－2α， 由于弦长等于半径， 所以可得2α＝或2π－2α＝，解得α＝或α＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(≈1.73)(　　) A．6平方米 B．9平方米 C．12平方米 D．15平方米 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 56 B　[如图，由题意可得：∠AOB＝，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，可得，矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sin ＝4×＝2，可得：弦＝2AD＝2×2＝4，所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝(4×2＋22)＝4＋2≈9(平方米)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 57 13．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，小链轮转过的弧度数是×2π＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 58 　[如图，设圆的半径为R，则正方形边长为R， ∴弧长l＝R， ∴α＝＝＝．] 14．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 59 15．如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　弧度制 60 [解]　所在的圆半径是2 dm，圆心角为；所在的圆半径是 1 dm，圆心角为；所在的圆半径是 dm，圆心角为，所以点A走过的路径长是三段圆弧之和，即2×＋1×＝(dm)． 三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2＋×1＋＝(dm2)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 $