第5章 5.1.1　角的概念的推广-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

5．1　任意角和弧度制 5．1．1　角的概念的推广 [课标解读]　1．了解任意角的概念，区分正角、负角与零角．2．理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合．3．了解象限角的概念． 知识点一　任意角的概念 1．角的概念：角可以看作是平面内一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置时所形成的图形． 2．角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类 名称 定义 图形 正角 按逆时针方向旋转所成的角 负角 按顺时针方向旋转所成的角 零角 一条射线没有做任何旋转所成的角 3．任意角：任意角包括正角、负角和零角． 知识点二　象限角与终边相同的角 1．象限角 在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．终边相同的角 可以把所有与角α终边相同的角用集合表示出来，即{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，当k＝0时，角β就是角α本身．即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [点拨]　对于集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解就注意三点： (1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略． (2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)． (3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限的角一定是正角．(　　) (2)终边相同的角一定相等．(　　) (3)锐角都是第一象限角．(　　) (4)第二象限角是钝角．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝(　　) A．120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈Z C．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z B　[角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z，选B．] 3．－870°角的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[因为－870°＝－360°×3＋210°，所以210°角与－870°角的终边相同，又因为210°角的终边在第三象限，所以－870°角的终边也在第三象限．故选C．] 4．已知角α，β的终边关于直线x＋y＝0对称，且α＝－60°，则β＝ ． 解析：　在－90°到0°的范围内，－60°角的终边关于直线y＝－x对称的射线的对应角为－45°＋15°＝－30°，所以β＝－30°＋k·360°，k∈Z． 答案：　－30°＋k·360°，k∈Z 探究点一　任意角的概念 (多选)下列说法正确的是(　　) A．锐角都是第一象限角 B．第一象限角一定不是负角 C．小于180°的角是钝角、直角或锐角 D．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角 AD　[锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确．] 判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念； (2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．　　 即时练1．下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角为锐角；④钝角比第三象限角小；⑤三角形的内角和是象限角．其中正确的结论为 (填序号)． 解析：　①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不正确；④钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正确；⑤三角形内角和为180°不是象限角，故⑤不正确． 答案：　② 探究点二　终边相同的角 写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角． 解析：　与75°角终边相同的角的集合为 S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}． 当360°≤β<1 080°，即360°≤k·360°＋75°<1 080°时， 解得≤k<2．又k∈Z，所以k＝1或k＝2． 当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°． 综上所述，与75°