第5章 章末综合提升-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

章末综合提升 素养一　数学抽象 数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征．本章中，三角函数定义体现了学科素养中的数学抽象． 题型一　任意角三角函数的定义 (1)已知角α的始边是x轴的正半轴，终边经过点(－3，y)，且sin α＝，则tan α＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)(多选)(2021·山东省泰安市第一学期质量检测)若α为第二象限角，则下列结论正确的是(　　) A．sin α>cos α B．sin α>tan α C．sin α＋cos α>0 D．cos α＋tan α>0 解析：　(1)角α的始边是x轴的正半轴，终边经过点(－3，y)，且sin α＝＝，得y＝4，则tan α＝＝－，故选A． (2)因为α为第二象限角， sin α>0，cos α<0，tan α<0， 所以A，B正确，D不正确； 当α∈时，sin α＋cos α>0，当α∈时，sin α＋cos α<0，所以C不一定正确． 故选AB． 答案：　(1)A　(2)AB 素养二　数学运算 数学运算能促进学生有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展．本章中，通过三角函数求值问题进一步培养提升学生的数学运算核心素养． 题型二　同角三角函数基本关系式和诱导公式 (1)已知sin α是方程2x2－x－1＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝ ． (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值． 解析：　(1)∵方程2x2－x－1＝0的根为－或1，又α是第三象限角，sin α<0，cos α<0， ∴sin α＝－， ∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝， ∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－． (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－， ∴cos α＝．∴sin(3π＋α)·tan ＝sin(π＋α)· ＝sin α·tan ＝sin α· ＝sin α·＝cos α＝． 答案：　(1)－ 素养三　直观想象 直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础．在本章中直观想象主要体现在三角函数图象的识别与应用中． 题型三　三角函数图象的识别 已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝2sin B．f(x)＝cos C．f(x)＝2cos D．f(x)＝2sin C　[设f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)， 由图知，＝·＝π， ∴ω＝，可排除B，D； 对于A，f(0)＝2sin＝－1，与题意f(0)＝1不符，可排除A； 对于C， f(x)＝2cos＝2sin＝ 2sin，满足f(0)＝1，当x0＝时， f(x0)＝y0＝2，满足题意； 所以C选项是正确的．] 题型四　三角函数图象的应用 (多选)已知函数f(x)＝sin的定义域为[m，n](m<n)，值域为，则n－m的值不可能是(　　) A． B． C． D． CD　[作出函数f(x)的图象如图所示，在一个周期内考虑问题，易得或所以n－m的值可能为区间内的任意实数．故选CD．] 素养四　逻辑推理 借助逻辑推理，学会有逻辑地思考问题；发现和提出数学命题；探索和表述论证过程；能够在比较复杂的情境中把握事物理解事物命题之间的关联，把握事物发展的脉络，把握知识结构；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力．在本章中，逻辑推理体现在三角函数的图象及性质，三角函数式的化简与证明等问题中． 题型五　三角函数式的化简与证明 求证：＝． 证明：　法一：由tan α－sin α≠0， 于是右边＝ ＝ ＝ ＝＝左边， 所以原等式成立． 法二：因为左边＝＝， 右边＝＝ ＝ ＝＝ 所以左边＝右边，原等式成立． 题型六　三角函数图象变换 (2020·吉林长春榆树一中高一期中考试)将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是(　　) A．y＝sin x B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin C　[将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin的图象，故选C．] 题型七　三角函数的性质 设f(x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个论断：①它的图象关于直线x＝对称；②它的图象关于点对称；③它的周期是π；④它