第5章 5．4　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

5．4　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 [课标解读]　1．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义．2．能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．3．了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相． 知识点一　A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 1．φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响 2．ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 3．A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 [点拨]　对A，ω，φ的三点说明(A>0，ω>0) (1)A越大，函数图象的最值越大，最值与A是正比例关系． (2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”． 知识点二　简谐振动 简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A表示这个振动物体偏离平衡位置的最大距离，称为振幅． 若x表示时间(x∈[0，＋∞))，则这个简谐振动的周期是T＝，而f＝＝表示单位时间内往复振动的次数，称为频率．ωx＋φ称为相位．x＝0时的相位φ称为初相． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象．(　　) (2)将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sin x的图象．(　　) (3)把函数y＝cos x图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝cos 3x的图象．(　　) (4)函数y＝sin的图象的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点(　　) A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向左平移π个单位长度 D．向右平移π个单位长度 A　[由图象平移的规律“左加右减”，可知选A．] 3．用“五点法”作函数f(x)＝sin在x∈[0，π]上的图象时，下列所给点可以是“五点法”中的点的坐标为(　　) A． B． C． D． B　[当x＝0时，2x－＝－不是“五点法”中的点，故A错；当x＝π时，2x－＝正确，故B对；当x＝时，2x－＝0，且sin(2x－)＝0，故C错；当x＝π时，2x－＝π不是“五点法”中的点，故D错．故选B．] 4．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为 ． 解析：　由题图可知A＝，＝－＝， ∴T＝π，∴ω＝2， ∴f(x)＝sin(2x＋φ)． 又函数f(x)的图象过点， ∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z， ∴φ＝2kπ＋，k∈Z， 又|φ|<π，∴φ＝， ∴f(x)＝sin(2x＋)． 答案：　f(x)＝sin(2x＋) 第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 探究点一　“五点法”作图 用五点法作出函数y＝2sin(x－)＋3的图象，并指出它的周期、最值及单调区间． 解析：　①列表如下： x π π π π x－ 0 π π 2π y 3 5 3 1 3 ②描点． ③连线成图， 将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边扩展即得y＝2sin(x－)＋3的图象．如图所示： 函数的周期T＝2π，最大值为5，最小值为1， 函数的减区间为[2kπ＋π，2kπ＋π]，k∈Z， 增区间为[2kπ－，2kπ＋π]，k∈Z． 1．“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象． 2．“五点法”作定区间上图象的关键是列表，列表的方法是： (1)计算x取端点值时的ωx＋φ的范围； (2)取出ωx＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的x值； (3)利用ωx＋φ的值计算y值； (4)描点(x，y)，连线得到函数图象．　　 即时练1．已知函数f(x)＝cos，在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象． 解析：　用“五点法”作函数f(x)＝cos，x∈[0，π]的图象． 列表如下： 2x－ － 0 π π x 0 π π π π f(x) 1 0 －1 0 描点，连线，图象如图． 探究点二　三角函数的图象变换 (多选)有下列四种变换方式，其中能将正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin的图象的是(　　) A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变) B．横坐标变为原